Pierwiastek (miejsce zerowe) wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu \( W(x)=a_0+a_1x+ \ldots +a_nx^n \) jest każde jego miejsce zerowe, tzn. każda taka liczba rzeczywista r, że W(r)=0.

Twierdzenie Bezout

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielony przez x-r.

Twierdzenie

Jeśli ułamek nieskracalny \( \frac{P}{q} \) jest pierwiastkiem wielomianu \( W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_{0} \), gdzie \( a_0, \space a_1+ \cdots +a_n \) są całkowite, to p jest dzielnikiem \( a_0 \), a \( q \) jest dzielnikiem \( a_n \).

Dowód:

\( W \left( \frac{P}{q} \right)=0 \quad a_n \left( \frac{P^n}{q^n} \right)+ a_{n-1} \left( \frac{P^{n-1}}{q^{n-1}} \right)+ \cdots + a_0=0| \cdot q^n \)

\( a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+ \cdots + a_0q^n=0 \)

\( p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-1}q+ \cdots + a_1q^{n-1})=-a_0q^{n} \)

\( a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-1}q+ \cdots + a_1q^{n-1}=\frac{-a_0q^n}{p} \)

Wszystkie wyrazy po lewej stronie są liczbami całkowitymi. Zatem prawa strona musi być również liczbą całkowitą, a to będzie wtedy, gdy p będzie dzielnikiem \( a_0 \), ponieważ p i q są względem siebie pierwsze. Podobnie dowodzimy że q jest dzielnikiem \( a_n \).

Wniosek

Jeśli \( a_n=1 \) to każdy wymierny pierwiastek wielomianu W(x) jest liczbą całkowitą, która dzieli wyraz wolny \( a_0 \).

Istotnie, na mocy powyższego twierdzenia q jest dzielnikiem \( a_n \) czyli q jest dzielnikiem 1, a zatem \( q= \pm 1 \), t.j. \( \frac{p}{q} \) jest liczbą całkowitą \( \pm p \). Z tego samego twierdzenia wynika, że p jest dzielnikiem \( a_0 \), co dowodzi wniosku.

Liczbę r nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)

Wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez \( (x-r)^k \) a nie jest podzielny przez \( (x-r)^{k+1} \).

Przykład 1.

Sprawdź czy wielomian \( W(x)=x^4-4x^3+5x^2-2x-12 \) jest podzielny przez P(x)=x-3?

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że wielomian W(x) jest podzielny przez x-3 tylko wtedy, gdy W(3)=0.

\( 3^4-4 \cdot 3^3+5 \cdot 3^2-2 \cdot 3-12 = \)

\( 81-4 \cdot 27 +5 \cdot 9-6-12 = \)

\( 81-108+45-18 = \)

\( -27+27 = 0 \)

Przykład 2.

Sprawdź dla jakiego parametru m wielomian \( W(x)=x^5-2mx^3+4mx+6 \) jest podzielny przez P(x)=x+2?

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że wielomian W(x) jest podzielny przez x+2 tylko wtedy, gdy W(-2)=0.

\( x^5-2mx^3+4mx+6 = \)

\( -2^5-2m(-2)^3+4m(-2)+6 = \)

\( -32+16m-8m+6= \)

\( -26+8m= \)

\( m=3\frac{1}{4} \)

Odpowiedź

Wielomian \( W(x)=x^5-2mx^3+4mx+6 \) jest podzielny przez P(x)=x+2 dla \( m=3\frac{1}{4} \).