Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego wyrażają stosunki pomiędzy długościami boków trójkąta prostokątnego względem jego kątów wewnętrznych.

Niech dany będzie trójkąt prostokątny ABC.

trójkąt prostokątny z oznaczeniami boków, kątów i wierzchołków

boki \( a,\space b \) - przyprostokątne trójkąta prostokątnego

\( c \) - przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym, w którym kąt \( \alpha \) jest kątem ostrym mamy następujące definicje funkcji trygonometrycznych:

  • stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej nazywamy sinusem kąta \( \alpha \) i oznaczamy \( \sin{\alpha} \).
  • \[ \sin{\alpha}=\frac{a}{c}= \frac{\text{przyprostokątna }\color{#ba5e5b}\text{naprzeciw } \color{black}\alpha}{\text{przeciwprostokątna}} \]

  • stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta \( \alpha \) do długości przeciwprostokątnej nazywamy cosinusem kąta \( \alpha \) i oznaczamy \( \cos{\alpha} \).
  • \[ \cos{\alpha}=\frac{b}{c}= \frac{\text{przyprostokątna } \color{#ba5e5b}\text{przy } \color{black}\alpha}{\text{przeciwprostokątna}} \]

  • stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \( \alpha \)do długości przyprostokątnej przyległej do kąta \( \alpha \) nazywamy tangensem kąta \( \alpha \) i oznaczamy \( \text{tg}\alpha \).
  • \[ \text{tg}\alpha=\frac{a}{b} = \frac{\text{przyprostokątna }\color{#ba5e5b}\text{naprzeciw } \color{black}\alpha}{\text{przyprostokątna } \color{#ba5e5b}\text{przy } \color{black}\alpha} \]

  • stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta \( \alpha \) do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta nazywamy cotangensem kąta \( \alpha \) i oznaczamy \( \text{ctg}\alpha \).
  • \[ \text{ctg}\alpha=\frac{b}{a} = \frac{\text{przyprostokątna } \color{#ba5e5b}\text{przy } \color{black}\alpha}{\text{przyprostokątna }\color{#ba5e5b}\text{naprzeciw } \color{black}\alpha} \]

Wartości funkcji trygonometrycznych dla \( 0^\circ,\space 30^\circ,\space 45^\circ,\space 60^\circ,\space 90^\circ \)

\( \alpha \) \( 0^\circ \) \( 30^\circ \) \( 45^\circ \) \( 60^\circ \) \( 90^\circ \) \( 180^\circ \)
\( 0 \) \( \frac{\pi}{6} \) \( \frac{\pi}{4} \) \( \frac{\pi}{3} \) \( \frac{\pi}{2} \) \( \pi \)
\( \sin{\alpha} \) \( 0 \) \( \frac{1}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( 1 \) \( 0 \)
\( \cos{\alpha} \) \( 1 \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{1}{2} \) \( 0 \) \( -1 \)
\( \text{tg}\alpha \) \( 0 \) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) \( 1 \) \( \sqrt{3} \) \( - \) \( 0 \)
\( \text{ctg}\alpha \) \( - \) \( \sqrt{3} \) \( 1 \) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) \( 0 \) \( - \)

Przykład 1.

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna BC jest równa 4, a przeciwprostokątna AB wynosi 7. Oblicz sinus kąta A.

Rozwiązanie

Obliczamy odpowiedni stosunek: \( \sin{\angle A}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{7} \).

Przykład 2.

Oblicz miarę kąta \( \alpha \) oraz kąta \( \beta \).

przykład 2

Rozwiązanie

\( \sin{\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)

Wiemy, że dla \( \sin{30^{\circ}} = \frac{1}{2} \), stąd \( \alpha = 30^\circ \), a \( \beta=90^\circ-30^\circ=60^\circ \).

Odpowiedź

\( \alpha=30^\circ \text{ i } \beta=60^\circ \)

Zobacz również:

Zobacz Komentarze ( 0 )

Dodając komentarz, oświadczasz, że akceptujesz regulamin forum*