Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego wyrażają stosunki pomiędzy długościami boków trójkąta prostokątnego względem jego kątów wewnętrznych.
Niech dany będzie trójkąt prostokątny ABC.
boki \( a,\space b \) - przyprostokątne trójkąta prostokątnego
\( c \) - przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego
W trójkącie prostokątnym, w którym kąt \( \alpha \) jest kątem ostrym mamy następujące definicje funkcji trygonometrycznych:
- stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej nazywamy sinusem kąta \( \alpha \) i oznaczamy \( \sin{\alpha} \).
- stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta \( \alpha \) do długości przeciwprostokątnej nazywamy cosinusem kąta \( \alpha \) i oznaczamy \( \cos{\alpha} \).
- stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \( \alpha \)do długości przyprostokątnej przyległej do kąta \( \alpha \) nazywamy tangensem kąta \( \alpha \) i oznaczamy \( \text{tg}\alpha \).
- stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta \( \alpha \) do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta nazywamy cotangensem kąta \( \alpha \) i oznaczamy \( \text{ctg}\alpha \).
\[ \sin{\alpha}=\frac{a}{c}= \frac{\text{przyprostokątna }\color{#ba5e5b}\text{naprzeciw } \color{black}\alpha}{\text{przeciwprostokątna}} \]
\[ \cos{\alpha}=\frac{b}{c}= \frac{\text{przyprostokątna } \color{#ba5e5b}\text{przy } \color{black}\alpha}{\text{przeciwprostokątna}} \]
\[ \text{tg}\alpha=\frac{a}{b} = \frac{\text{przyprostokątna }\color{#ba5e5b}\text{naprzeciw } \color{black}\alpha}{\text{przyprostokątna } \color{#ba5e5b}\text{przy } \color{black}\alpha} \]
\[ \text{ctg}\alpha=\frac{b}{a} = \frac{\text{przyprostokątna } \color{#ba5e5b}\text{przy } \color{black}\alpha}{\text{przyprostokątna }\color{#ba5e5b}\text{naprzeciw } \color{black}\alpha} \]
Wartości funkcji trygonometrycznych dla \( 0^\circ,\space 30^\circ,\space 45^\circ,\space 60^\circ,\space 90^\circ \)
| \( \alpha \) | \( 0^\circ \) | \( 30^\circ \) | \( 45^\circ \) | \( 60^\circ \) | \( 90^\circ \) | \( 180^\circ \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | \( \pi \) | |
| \( \sin{\alpha} \) | \( 0 \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( \cos{\alpha} \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( 0 \) | \( -1 \) |
| \( \text{tg}\alpha \) | \( 0 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) | \( - \) | \( 0 \) |
| \( \text{ctg}\alpha \) | \( - \) | \( \sqrt{3} \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 0 \) | \( - \) |
Przykład 1.
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna BC jest równa 4, a przeciwprostokątna AB wynosi 7. Oblicz sinus kąta A.
Rozwiązanie
Obliczamy odpowiedni stosunek: \( \sin{\angle A}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{7} \).
Przykład 2.
Oblicz miarę kąta \( \alpha \) oraz kąta \( \beta \).
Rozwiązanie
\( \sin{\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)
Wiemy, że dla \( \sin{30^{\circ}} = \frac{1}{2} \), stąd \( \alpha = 30^\circ \), a \( \beta=90^\circ-30^\circ=60^\circ \).
Odpowiedź
\( \alpha=30^\circ \text{ i } \beta=60^\circ \)
Zobacz Komentarze ( 0 )