Znajdowanie wspólnego mianownika funkcji wymiernych

  1. Rozkładamy wszystkie mianowniki na czynniki
  2. Tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszego mianownika, tych czynników drugiego, których nie było w pierwszym, tych czynników trzeciego, których nie było ani w pierwszym, ani w drugim itd.

Przykład 1.

Wykonać działania:

\( \frac{8x}{x-9x^3} + \frac{3x}{x+3x^2} - \frac{2-6x}{(1-3x)^2} \)

Rozkładamy mianowniki ułamków na czynniki:

\( \frac{8x}{x(1-9x^2)} + \frac{3x}{x(1+3x)} - \frac{2-6x}{(1-3x)^2} = \) \( \frac{8x}{x(1-3x)(1+3x)} + \frac{3x}{x(1+3x)} - \frac{2-6x}{(1-3x)^2} \)

Ustalamy dziedzinę \( x \neq 0 \quad i \quad x \neq \frac{1}{3} \quad i \quad x \neq -\frac{1}{3} \)

Sprowadzamy do wspólnego mianownika

\( \frac{8x(1-3x)+3x(1-3x)^2-(2-6x)x(1+3x)}{x(1+3x)(1-3x)} = \) \( \frac{8x-24x^2+3x(1-6x+9x^2)-(2-6x)(x+3x^2)}{x(1+3x)(1-3x)^2} = \) \( \frac{8x-24x^2+3x-18x^2+27x^3-21-6x^2+6x^2+18x^3}{x(1+3x)(1-3x)^2} = \) \( \frac{45x^3-42x^2+9x}{x(1+3x)(1-3x)^2} = \frac{x(45x^2-42x+9)}{x(1+3x)(1-3x)^2} = \) \( \frac{45\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{3}{5}\right)}{(1+3x)(1-3x)^2} = \) \( \frac{15\left(x-\frac{3}{5}\right)}{(1+3x)(3x-1)} \)

Przykład 2.

Rozwiąż nierówność: \( \frac{(3x^2+4x-4)}{(x^2+x-2)} \gt 1, \space D=\Bbb{R}-\{-2;1\} \)

\( \frac{3x^2+4x-4}{x^2+x-2} -1 \gt 0 \iff \frac{2x^2+3x-2}{x^2+x-2} \gt 0 \iff 2x^2+3x-2 \)

\( (x^2+x-2) \gt 0 \leftrightarrow 2(x+2)(x-\frac{1}{2})(x+2)(x-1) \gt 0 \iff \) \( \iff 2(x+2)^2 \left( x- \frac{1}{2} \right)(x-1) \gt 0 \)

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu

\( W(x)= 2(x+2)^2 \left( x- \frac{1}{2} \right)(x-1) \)

wykres wielomianu \( W(x)= 2(x+2)^2 \left( x- \frac{1}{2} \right)(x-1) \)

Ostatecznie:

\( x \in (-\infty,-2)\cup(-2,\frac{1}{2})\cup(1,+\infty) \)

Zobacz również:

Zobacz Komentarze ( 0 )

Dodając komentarz, oświadczasz, że akceptujesz regulamin forum*