Schemat Bernoulliego

Niezależne próby nazywamy próbami Bernoulliego, jeżeli każda próba może zakończyć się tylko jednym z dwóch wyników: Zdarzeniem A (sukcesem) albo zdarzenie A' (porażką) oraz jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest takie samo.

Twierdzenie

Prawdopodobieństwo, że w schemacie n prób Bernoulliego sukces wypadnie dokładnie k razy wyraża się wzorem:

\[ P_n(k)= \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)p^kq^{n-k} \]

gdzie \( p \) jest prawdopodobieństwem sukcesu \( 0 \lt p \lt 1 \), zaś \( q=1-p \) jest prawdopodobieństwem porażki w jednej próbie Bernoulliego.

Przykład 1.

Rzucamy 8 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 orłów?

Rozwiązanie

Mamy tu do czynienia ze schematem Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo zarówno sukcesu jak i porażki jest równie i wynosi \( p=q=\frac{1}{2} \). Wobec tego prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 orłów w 8 rzutach jest równe:

\[ P_8(3)= \left( \begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix} \right)\left( \frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{8-3}= \frac{8!}{3!\cdot 5!} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{32}=\frac{7}{32} \]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 3 orłów w 8 rzutach jest równe \( \frac{7}{32} \).

Przykład 2.

Rzucamy sześcienną kostką do gry 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy szóstkę dokładnie 2 razy?

Rozwiązanie

Mamy tu do czynienia ze schematem Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu, czyli wyrzucenia szóstki wynosi \( p=\frac{1}{6} \), a prawdopodobieństwo porażki \( p=\frac{5}{6} \).

Wobec tego prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch szóstek w 5 rzutach jest równe:

\[ P_5(2)= \left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} \right)\left( \frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{5-2}= \frac{5!}{2!\cdot 3!} \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216}=\frac{625}{3888} \]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie dwóch szóstek w 5 rzutach jest równe \( \frac{625}{3888} \).