Wariacja bez powtórzeń

Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów, gdzie \( 1 \leq k \leq n \).

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariancji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa:

\[ V^k_n=\frac{n!}{(n-k)!} \]

Przykład 1

W biegu bierze udział 7 zawodników i zakładamy, że każdy przybiegł na metę w innym czasie. Na ile sposobów można przydzielić złoty, srebrny i brązowy medal?

Rozwiązanie

Szukamy ilości 3-elementowych ciągów, których elementy wybieramy bez powtórzeń (bo jedna osoba może dostać co najwyżej jeden medal) z 7-elementowego zbioru. Mamy więc do czynienia z wariacją bez powtórzeń 3 z 7.

\( V^3_7=\frac{7!}{(7-3)!}=4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 840 \)

Przykład 2

Hasło składa się z 4 różnych cyfr i trzech różnych liter (wybranych z 24-literowego alfabetu). Na ile sposobów możemy utworzyć hasło?

Rozwiązanie

4 różne cyfry wybieramy ze zbioru 10 elementowego \( V^4_{10}=\frac{10!}{(10-4)!}=7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 5040 \)

3 różne litery z 24 można wybrać na \( V^3_{24}=\frac{24!}{(24-3)!}=\frac{24!}{21!}= 22 \cdot 23 \cdot 24 = 12144 \)

Następnie stosujemy regułę mnożenia i z zestawu wybieranych niezależnie 4 cyfr i 3 liter otrzymujemy: \( 5040 \cdot 12144 = 61 \space 205 \space 760 \)

W haśle każdy zestaw 7 wybranych znaków (cyfr i liter) może być ustawiony na 7! sposobów, to znaczy na \( 7!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040 \) sposobów. Haseł różniących się kolejnością lub zestawem znaków jest więc:

\( 61 \space 205 \space 760 \cdot 5040 = 308 \space 477 \space 030 \space 400 \)