Iloczyn zbiorów (część wspólna)

Iloczynem zbiórów \( A \cap B \) jest to działanie, w wyniku którego z danych zbiorów A i B powstaje zbiór, którego elementami są elementy jednocześnie należące do zbioru A i do zbioru B. Działanie takie nazywamy również mnożeniem mnogościowym zbiorów A i B i zapisujemy symbolicznie \( A \cap B = \{ x:x \in A \land x \in B \} \).

Innymi słowy, zbiór wynikowy zawiera tylko te elementy, które są jednocześnie elementami zbioru A i B.

Przykład 1.

Iloczynem zbiorów A={1,5,9} i B={2,5,6} jest zbiór jednoelementowy \( A \cap B = \{ 5 \} \).

Przykład 2.

niech A będzie zbiorem liczb naturalnych mniejszych niż 5 (A = {0, 1, 2, 3, 4}) i niech B będzie zbiorem liczb parzystych mniejszych niż 10 (B = {0, 2, 4, 6, 8}). Wtedy iloczyn A i B, oznaczany jako \( A \cap B \), będzie zawierał tylko liczby naturalne mniejsze niż 5, które są jednocześnie liczbami parzystymi mniejszymi niż 10. Zatem:

\( A \cap B = \{ 0,2,4 \} \)

Przykład 3.

Dana jest grupa studentów, którzy uczestniczą w zajęciach z matematyki (A), grupa studentów, którzy uczestniczą w zajęciach z fizyki (B) oraz grupa studentów, którzy uczestniczą w zajęciach z chemii (C). Wiadomo, że 20% studentów uczestniczy jednocześnie w zajęciach z matematyki i fizyki, 25% studentów uczestniczy jednocześnie w zajęciach z fizyki i chemii, a 30% studentów uczestniczy jednocześnie w zajęciach z matematyki i chemii. Natomiast 10% studentów uczestniczy we wszystkich trzech przedmiotach. Oblicz, jaki procent studentów uczestniczy w zajęciach tylko z jednego przedmiotu.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie, należy zastosować wiedzę na temat relacji między zbiorami i wyznaczyć, ile studentów należy do każdego z podzbiorów: \( A \cap B \), \( B \cap C \), \( A \cap C \) oraz \( A \cap B \cap C \). W tym celu można zastosować tabelę podobną do poniższej:

Matematyka (A)	Fizyka (B)	Chemia (C)
\( A \cap B \cap C \)	\( B \cap C \)	\( A \cap C \)
\( A \cap B \)		\( B \cap C \)
\( A \)	\( B \)	\( C \)

Zgodnie z treścią zadania, 10% studentów uczestniczy we wszystkich trzech przedmiotach, więc liczba elementów w zbiorze\( A \cap B \cap C \) wynosi 0,1 * n, gdzie n to łączna liczba studentów.

Ponadto, wiadomo, że 20% studentów uczestniczy jednocześnie w zajęciach z matematyki i fizyki, czyli liczba elementów w zbiorze \( A \cap B \) wynosi 0,2 * n. Analogicznie, liczba elementów w zbiorze \( B \cap C \) wynosi 0,25 * n, a liczba elementów w zbiorze \( A \cap C \) wynosi 0,3 * n.

Aby obliczyć, jaki procent studentów uczestniczy tylko w zajęciach z jednego przedmiotu, należy wyznaczyć liczbę elementów w poszczególnych podzbiorach i odjąć ją od liczby wszystkich studentów n. Łączna liczba studentów to suma liczb elementów we wszystkich podzbiorach, czyli:

\( n = A \cap B \cap C + A \cap B + B \cap C + A \cap C + A + B + C \)

Następnie, trzeba obliczyć liczbę elementów w iloczynie zbiorów, które zawierają więcej niż jeden przedmiot:

\( A \cap B = 0,2 * n \)

\( B \cap C = 0,25 * n \)

\( A \cap C = 0,3 * n \)

\( A \cap B \cap C = 0,1 * n \)

Suma wszystkich tych iloczynów wynosi:

\( A \cap B + B \cap C + A \cap C + A \cap B \cap C = 0,85 * n \)

Ostatecznie, aby obliczyć procent studentów uczestniczących tylko w zajęciach z jednego przedmiotu, należy od liczby wszystkich studentów n odjąć liczbę studentów uczestniczących w zajęciach z więcej niż jednego przedmiotu, a następnie podzielić wynik przez n i pomnożyć przez 100%. Wzór na procent studentów uczestniczących tylko w zajęciach z jednego przedmiotu to:

(1 - 0,85) * 100% = 15%

Odpowiedź

Zatem, 15% studentów uczestniczy tylko w zajęciach z jednego przedmiotu.