Prawdopodobieństwo całkowite

Jeżeli zdarzenia \( B_1,B_2, \ldots ,B_n \) zawarte w przestrzeni zdarzeń elementarnych \( \Omega \) spełniają warunki:

1. \( B_i \cap B_j = \varnothing \text{ dla } i \neq j \)
2. \( B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n = \Omega \)
3. \( P(B_i) \gt 0 \text{ dla } i=1,2,\ldots ,n \)

to dla każdego zdarzenia \( A \subset \Omega \) zachodzi równość

\( P(A)=P(A|B_1) \cdot P(B_1)+ P(A|B_2) \cdot P(B_2)+ \ldots + P(A|B_n) \cdot P(B_n) \)

Przykład 1.

W urnie mamy 8 kul: 3 białe i 5 czarnych. Losujemy kolejno bez zwracania 2 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wyciągniemy kulę białą.

Rowiązanie

Rozważmy zdarzenia:

1. \( A \) - za drugim razem wyciągneliśmy kulę białą
2. \( B_1 \) - za pierwszym razem wyciągnięcie kuli białej
3. \( B_2 \) - za pierwszym razem wyciągnięcie kuli czarnej

Zdarzenia \( B_1, B_2 \) są rozłączne i jedno z nich zawsze zachodzi, ponadto prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wyciągniemy kule białą lub czarną też zawsze zachodzi. Tak więc spełnione są założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

\( P(A)=P(A|B_1) \cdot P(B_1)+ P(A|B_2) \cdot P(B_2) = \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{8} + \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{8} = \frac{6}{56} + \frac{20}{56}= \frac{13}{28} \)