Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa mówi, jeśli ramiona kąta płaskiego przetnie się dwiema prostymi równoległymi, to długość odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu.

Jeżeli proste k i l są do siebie równoległe, to wówczas zgodnie z twierdzeniem Talesa prawdziwe są następujące proporcje:

\[ \frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|CE|}=\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|AB|}{|BD|}=\frac{|AC|}{|CE|}=\frac{|AB|}{|AD|}=\frac{|AC|}{|AE|} \]

Przykład 1.

Proste k i l są równoległe. Oblicz długość odcinka x.

Rozwiązanie:

Zgodnie z twierdzeniem Talesa:

\( \frac{5}{2}=\frac{6}{x} \)

\( 5 \cdot x = 2 \cdot 6 \)

\( x= \frac{12}{5} \)

Przykład 2.

Proste k i l są równoległe. Oblicz długość odcinka x.

Rozwiązanie:

Zgodnie z twierdzeniem Talesa:

\( \frac{7}{4}=\frac{x}{5} \)

\( 7 \cdot 5 = x \cdot 4 \)

\( x= \frac{35}{4} \)

Przykład 3.

Do zmierzenia wysokości h pewnego przedmiotu PQ, np. słupa lub drzewa, wbijamy w ziemię dwa różnej długości paliki lub pręty AB i CD tak, aby ich końce B i D były współliniowe z końcem Q przedmiotu, a początku A i C - współliniowe z jego początkiem P. Mierząc odległość AC i AP możemy wyznaczyć wysokość przedmiotu, gdy znamy długości palików AB i CD.

Rozwiązanie:

Niech AB=a, CD=b (b>a), AC=p, AP=q. Stosując twierdzenie Talesa do kąta EBQ (EB||PA) i prostych CD i PQ, otrzymujemy:

\( \frac{BE}{BG}=\frac{EQ}{GD} \)

Zatem:

\( \frac{q}{p}=\frac{h-a}{b-a} \)

Stąd otrzymujemy

\( h=a+\frac{q(b-a)}{p} \)