Różne zadania z ciągów

Zadanie 1

Oblicz cztery początkowe wyrazy ciagu \( a_n=n+\frac{(-1)^n}{n} \)

Zobacz rozwiązanie

\( a_1=1+\frac{(-1)^1}{1}=0 \)

\( a_2=2+\frac{(-1)^2}{2}=\frac{5}{2} \)

\( a_3=3+\frac{(-1)^3}{3}=\frac{8}{3} \)

\( a_4=4+\frac{(-1)^4}{4}=\frac{17}{4} \)

Odpowiedź

\( a_1=0, a_2=\frac{5}{2}, a_3=\frac{8}{3}, a_4=\frac{17}{4} \)

Zadanie 2

Zbadać, czy ciąg \( a_n=\frac{n+1}{n} \) jest rosnący, czy malejący.

Zobacz rozwiązanie

Badamy różnicę \( a_{n+1}-a_n \)

\( a_n=\frac{n+1}{n} \)

\( a_{n+1}=\frac{(n+1)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1} \)

\( a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{n(n+2)-(n+1)^2}{n(n+1)}=\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)} \)

Odpowiedź

Dla każdego \( n \in \Bbb{N} \) \( \frac{-1}{n(n+1)} \lt 0 \) zatem \( a_{n+1} \lt a_n \) co oznacza, że ciąg \( a_n \) jest malejący.

Zadanie 3

Zbadać monotoniczność ciągu \( a_n \), gdzie \( a_n=\cos n\pi \).

Zobacz rozwiązanie

Dla n parzystego \( a_n=\cos n\pi = 1 \), \( a_{n+1}=\cos (n+1)\pi = 1 \)

\( a_{n+1}-a_n=-2 \) czyli \( a_{n+1} \lt a_n \)

Dla n nieparzystego \( a_n=\cos n\pi = -1 \), \( a_{n+1}=\cos (n+1)\pi = 1 \)

\( a_{n+1}-a_n=1-(-1)=2 \) czyli \( a_{n+1} \gt a_n \)

Odpowiedź

Ciąg \( a_n \) nie jest monotoniczny.

Zadanie 4

Ciąg \( a_n \) jest określony wzorem rekurencyjnym:

\( \begin{cases} a_1=1 \\ a_{n+1}=a_n+8n \end{cases} \)

Napisz pięć początkowym wyrazów tego ciągu i zbadaj jego monotoniczność.

Zobacz rozwiązanie

\( a_1=1 \)

\( a_2=1+8=9 \)

\( a_3=9+16=25 \)

\( a_4=25+24=49 \)

\( a_5=49+32=81 \)

Zbadajmy teraz monotoniczność tego ciągu \( a_{n+1}-a_n = 1+8n-1=8n \) \( \underset{n \in \Bbb{N}}{\Large\forall} 8n \gt 0 \), czyli \( a_{n+1} \gt a_n \). Zatem ciąg jest rosnący.

Odpowiedź

1,9,25,49,81. Ciąg jest rosnący

Zadanie 5

Udowodnij, że ciąg \( a_n=3-\frac{1}{n} \) jest rosnący i ograniczony.

Zobacz rozwiązanie

Wykażemy najpierw, że ciąg \( a_n \) jest rosnący.

\( a_n=3-\frac{1}{n} \)

\( a_{n+1}=3-\frac{1}{n+1} \)

\( a_{n+1}-a_n=3-\frac{1}{n+1}-3+\frac{1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)} \)

\( \forall_{n \in \Bbb{N}}\frac{1}{n(n+1)} \gt 0 \), czyli \( a_{n+1}-a_n \gt 0 \) stąd \( a_{n+1} \gt a_n \) co oznacza, że ciąg \( (a_n) \) jest rosnący.

Teraz udowodnimy, że ciąg \( (a_n) \) jest ograniczony. W tym celu pokażmy, że wszystkie wyrazy tego ciągu należą do przedziału \( \langle 2, 3) \) czyli, że \( \forall_{n \in \Bbb{N}} 2\leq 3 - \frac{1}{n} \lt 3 \)

Nierówność \( 3-\frac{1}{n} \lt 3 \) jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.

Nierówność \( 3-\frac{1}{n} \geq 2 \iff n \geq 1 \), wobec tego układu nierówności jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej \( n \geq 1 \).

Ciąg \( (a_n) \) jest ograniczony.

Zadanie 6

Dla jakich n, wyrazy ciągu \( a_n= \frac{10n}{n^2+1} \) są mniejsze od danej liczby M=4?

Zobacz rozwiązanie

\( \frac{10n}{n^2+1} \lt 4 \)

\( 10n \lt 4n^2+4 \)

\( 4n^2-10n+4 \gt 0 \)

\( \Delta = 100-64=36 \)

\( n_1=\frac{10-6}{8}=\frac{1}{2} \), \( n_2=\frac{10+6}{8}=2 \)

\( n \lt \frac{1}{2} \lor n \gt 2 \), ponieważ \( n \in \Bbb{N} \) więc \( n \gt 2 \)

Odpowiedź

Wszystkie wyrazy ciągu poczynając od trzeciego są mniejsze od 4

Zobacz również:

Zobacz Komentarze ( 0 )

Dodając komentarz, oświadczasz, że akceptujesz regulamin forum*