Zadania z wektorów

Zadanie 1.

Udowodnij, że punkty A(-2,1), B(3,4) i C(-5,6) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Oblicz miary pozostałych kątów.

Zobacz rozwiązanie

Aby wykazać, że trójkąt jest prostokątny należy obliczyć iloczyn skalarny wektorów, w tym celu obliczamy współrzędne wektorów:

\( \overrightarrow{AB}=[5,3] \), \( \overrightarrow{AC}=[-3,5] \), \( \overrightarrow{BC}=[-8,2] \)

\( \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}=5 \cdot (-3)+3 \cdot 5 = 0 \)

więc kąt przy wierzchołku A jest prosty

\( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{34}, \quad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} \)

Ponieważ \( |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}| \),

więc trójkąt jest równoramienny i pozostałe kąty są równe \( 45^{\circ} \)

Zadanie 2.

Krótszą podstawą trapezu jest odcinek \( |\overrightarrow{AB}| \), gdzie \( A(4,0), B(6,0) \). Znaleźć współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu, jeżeli wiadomo, że dłuższa podstawa ma długość \( CD=2\cdot AB \) i punkt \( P(1,2) \) jest środkiem odcinka \( |\overrightarrow{CD}| \).

Zobacz rozwiązanie

Ponieważ podstawy trapezu są równoległe więc \( |\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{DC}| \)

rysunek podglądowy do zadania 2

\( |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{PC}| \), |\overrightarrow{AB}|=[2,2] \)

Niech \( C(x,y) \)

\( |\overrightarrow{PC}|=[x-1,y-2] \)

\( x-1=2 \text{ i } y-2=2 \)

\( x=3, \quad y=4 \)

\( C(3,4) \) stąd \( D(-1,0) \)

Zadanie 3.

Pole trójkąt ABC jest równe \( 3 \). Dane są dwa jego wierzchołki \( A(3,1) \) i \( B(1,-3) \), a trzeci wierzchołek \( C \) leży na osi \( OY \). Znaleźć współrzędne wierzchołka \( C \).

Zobacz rozwiązanie

Niech wierzchołek \( C \) ma współrzędne \( 0,y \). Wektory \( \overrightarrow{AB} \) i \( \overrightarrow{AC} \) mają współrzędne \( \overrightarrow{AB} = [-2,-4] \), \( \overrightarrow{AC}=[-3,y-1] \).

\( d \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=\begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -3 & y-1 \end{vmatrix} = -2(y-1)-12=-2y-10 \)

\( |-2y-10|=6 \) stąd \( y=-8 \) lub \( y=-2 \)

Odpowiedź:

\( 0,-8 \), \( 0,-2 \)

Zobacz również:

Zobacz Komentarze ( 0 )

Dodając komentarz, oświadczasz, że akceptujesz regulamin forum*