Postać iloczynowa wielomianu
Postacią iloczynową wielomianu nazywamy takie rozłożenie wielomianu na czynniku, aby otrzymać jego wzór w postaci iloczynu nawiasów.
Jeżeli liczby \( x_1,x_2, \ldots , x_n \in \Bbb{R} \) są pierwiastkami wielomianu \( W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} \) stopnia \( n \) to postacią iloczynową wielomianu jest:
\[ W(x)=a_n(x-x_n) \cdot \ldots \cdot (x-x_2)(x-x_1) \]
gdzie \( a_n \in \Bbb{R} \setminus \{ 0 \} \) - współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej wielomianu
\( a_0, \ldots ,a_{n-1} \in \Bbb{R} \) - pozostałe współczynniki wielomianu
Poniżej znajdują się przykłady wielomianów zapisane w postaci ogólnej i postaci iloczynowej:
| Postać ogólna | Postać iloczynowa |
|---|---|
| \( W(x)=x^2-9 \) | \( W(x)=(x-3)(x+3) \) |
| \( W(x)=x^2+4x+4 \) | \( W(x)=(x+2)^2 \) |
| \( W(x)=x^2+2x-3 \) | \( W(x)=(x-1)(x+3) \) |
| \( W(x)=x^3+2x^2+x+6 \) | \( W(x)=(x-3)(x+2)(x-1) \) |
| \( W(x)=x^2+x+1 \) | nie istnieje |
Jak łatwo zauważyć w bardzo łatwy sposób możemy przekształcić wielomian z postaci iloczynowej na postać ogólną wymnarzając po kolei wyrazy w nawiasach. W druga stronę nie jest już to takie proste, a nawet czasami okazuje się niemożliwe.
Zobacz Komentarze ( 0 )