Różne zadania z funkcji kwadratowej
Zadanie 1.
Sprowadź funkcję \( y = 3x^2-2x-1 \) do postaci kanonicznej.
Zobacz rozwiązanie
Obliczamy ∆ i podstawiamy do wzoru.
\( \Delta = 4+12=16, \) \( y=3 \left( x-\frac{1}{3} \right)^2 - \frac{4}{3} \)
Zadanie 2.
Znajdź współczynniki trójmianu kwadratowego \( y = ax^2+bx+c \) wiedząc, że jego wykres przechodzi przez punkty: A(2,-2), B(5,1), C(0,6).
Zobacz rozwiązanie
\( \begin{cases} -2=4a+2b+c \\ 1=25a+5b+c \\ 6=c \end{cases} \iff \) \( \begin{cases} 4a+2b=-8 \\ 25a+5b=-5 \end{cases} \iff \) \( \begin{cases} 2a+b=-4 \\ 5a+b=-1 \end{cases} \iff \) \( -3a=-3 \) \( a=1, \space b=-6 \)
Odpowiedź:
\( y=x^2-6x+6 \)
Zadanie 3.
W trójkącie ABC, AB=2dm, AC=BC i ∠ACB=90°. W trójkąt ABC wpisano trójkąt LMK tak, że M jest środkiem \( \overline{AB} \), punkt L należy do AC, punkt K należy do \( \overline{BC} \) i \( \overline{KL} \) || \( \overline{AB} \). Zbadaj pole trójkąta LMK jako funkcję długości odcinka \( \overline{CL} \).
Zobacz rozwiązanie
\( KL = x \sqrt{2} \quad MN = 1- \frac{x\sqrt{2}}{2} \) \( y=S_{KLM} \quad w \space dm^2 \) \( y = \frac{x \sqrt{2}}{2} \left( 1-\frac{x \sqrt{2}}{2} \right)= \) \( -\frac{1}{2}+\frac{x \sqrt{2}}{2} \)
\( \text{dla } x= \frac{\sqrt{2}}{2} \) funkcja przyjmuje \( y_{max}=\frac{1}{4} \)
Zadanie 4.
Dla jakich całkowitych wartości k trójmian \( y=kx^2-(1-2k)x+k-2 \) ma pierwiastki wymierne?
Zobacz rozwiązanie
Trójmian ma pierwiastki wymierne jeśli ∆ jest kwadratem liczby wymiernej
\( \Delta= (1-2k)^2-4k(k-2) \)
Rozwijając te wyrażenia, otrzymujemy:
\( \Delta= 1-4k+4k^2-4k^2+8k \)
\( \Delta= 1+4k \)
Aby \( \Delta \) była kwadratem liczby wymiernej, \( 1+4k \) musi być kwadratem liczby całkowitej. Ponieważ kwadrat liczby całkowitej zawsze jest nieujemny, to \( 1+4k \) musi być dodatnie lub równe zero.
Zatem:
\( 1+4k \geq 0 \)
Rozwiązując to nierówność, otrzymujemy:
\( k \geq -\frac{1}{4} \)
Odpowiedź:
Zatem dla \( k \geq -\frac{1}{4} \), trójmian \( y=kx^2-(1-2k)x+k-2 \) będzie miał pierwiastki wymierne.
Zadanie 5.
Dla jakich wartości parametru m funkcja \( y=kx^2-1-(1-2k)x+k-2 \) przyjmuje wartości ujemne dla każdego rzeczywistego x?
Zobacz rozwiązanie
Ponieważ współczynnik \( x^2 \) jest ujemny to funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy \( \Delta \lt 0 \)
\( \Delta = m^2+4(-m^2+2m-1)=-3m^2+8m-4 \lt 0, \)
\( \Delta_1 =64-48=16, \)
\( m_1 = \frac{-8-4}{-6}=2, \) \( m_2 = \frac{-8+4}{-6} = \frac{2}{3}, \)
\( m \lt \frac{2}{3} \quad lub \quad m \gt 2 \)
Zadanie 6.
Znaleźć i wykreślić funkcję y=f(m), gdzie y oznacza sumę kwadratów pierwiastków równania \( x^2-mx+m^2-1=0 \)
Zobacz rozwiązanie
Równanie posiada pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest nieujemny.
\( \Delta = m^2-4(m^2-1)=-3m^2+4 \geq 0 \)
\( -\frac{2\sqrt3}{3} \leq m \leq \frac{2\sqrt3}{3} \)
\( y=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=m^2-2(m^2-1)=2-m^2 \)
Zobacz Komentarze ( 0 )