Suma zbiorów

Suma zbiórów \( A \cup B \) jest to działanie, w wyniku którego z danych zbiorów A i B powstaje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. Działanie takie nazywamy również sumą mnogościową zbiorów A i B i zapisujemy symbolicznie \( A \cup B = \{ x:x \in A \lor x \in B \} \).

Innymi słowy, zbiór wynikowy zawiera wszystkie elementy, które należą do zbioru A lub do zbioru B (lub do obu).

Przykład 1.

Sumą zbiorów A={1,5,9} i B={2,6,10} jest zbiór \( A \cup B = \{ 1,2,5,6,9,10 \} \).

Przykład 2.

W danym regionie wybudowano kilka nowych dróg (zbiór A), ale nie wszystkie są jeszcze otwarte dla ruchu. Oblicz sumę \( A \cup B \), gdzie B to zbiór dróg, które już są otwarte dla ruchu. Zbiór wynikowy powinien zawierać wszystkie drogi, które będą dostępne dla kierowców..

Rozwiązanie

Suma \( A \cup B \)oznacza zbiór elementów, które należą do A lub do B lub do obu tych zbiorów. Zatem, suma \( A \cup B \) będzie zawierać wszystkie drogi, które zostały wybudowane i są już otwarte dla ruchu, oraz te, które są wybudowane, ale jeszcze nie są otwarte dla ruchu.

Możemy to zapisać formalnie jako:

\( A \cup B \) = {dla każdej drogi x: x należy do A lub x należy do B}

Ostatecznie, obliczenie sumy \( A \cup B \) zależy od konkretnych dróg, jakie zostały wybudowane w danym regionie, ale ogólnie można stwierdzić, że zbiór wynikowy będzie zawierał wszystkie drogi, które będą dostępne dla kierowców.

Przykład 3.

Dane są trzy zbiory A, B i C, gdzie A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} oraz C = {3, 6, 9, 12}. Oblicz sumę \( A \cup B \setminus C \).

Rozwiązanie

Zacznijmy od obliczenia sumy \( A \cup B \). W tym celu musimy połączyć ze sobą elementy obu zbiorów:

\( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 8 \} \)

Teraz należy odjąć z tego wyniku zbiór C, czyli elementy, które należą do \( A \cup B \), ale nie należą do C. Możemy to zapisać jako:

\( (A \cup B) \setminus C = \{ x:x \in A \cup B \land x \notin C \} \)

Zatem, \( (A \cup B) \setminus C \) będzie zawierało tylko te liczby naturalne, które są elementami zbioru A lub B, ale nie są elementami zbioru C. Możemy to wyliczyć, porównując elementy każdego z tych zbiorów:

\( (A \cup B) \setminus C = \{ 1, 2, 4, 8 \} \)

Ostatecznie, suma \( (A \cup B) \setminus C \) wynosi \( \{ 1, 2, 4, 8 \} \).