Nierówność liniowa

Równaniem stopnia pierwszego nazywamy równanie postaci:

\[ ax+b=0 \]

Pierwiastkiem równania stopnia pierwszego nazywamy miejsce zerowe funkcji \( y = ax+b \).

Nierównością stopnia pierwszego nazywamy każdą z nierówności ax+b>0 lub ax+b<0,

Mówimy, że liczba \( x_0 \) spełnia nierówności \( ax+b \gt 0 \quad lub \quad ax+b \lt 0 \) wtedy i tylko wtedy, gdy nierówność \( ax_0+b \gt 0 \quad lub \quad ax_0+b \lt 0 \) jest nierównością prawdziwą.

Rozwiązaniem nierówności nazywamy zbiór wszystkich liczb spełniających nierówność.

Równaniem stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie w postaci \( ax +by +c =0 \), gdzie a i b nie są jednocześnie równe zeru.

Wykresem równania \( ax +by +c =0 \), gdzie a i b nie są jednocześnie równe zeru jest linia prosta.

Rozwiązaniem równania ax+by+c=0 nazywamy zbiór wszystkich par liczb spełniających to równanie.

Równaniem układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi nazywamy zbiór tych wszystkich par liczb, które spełniają każde z równań układu.

Układ równań \( \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \) nazywamy układem równań:

1. niezależnych wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązaniem układu jest dokładnie jedna para liczb,
2. zależnych wtedy i tylko wtedy, gdy każda para liczb spełniających jedno z równań spełnia również i drugie równanie,
3. sprzecznych wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązaniem układu jest zbiór pusty.

Układ równań \( \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \) jest układem równań:

1. niezależnych wtedy i tylko wtedy, gdy \( a_1b_2-a_2b_1 \neq 0 \),
2. zależnych wtedy i tylko wtedy, gdy \( a_1b_2-a_2b_1 = 0 \space i \space c_1b_2-c_2b_1=0\),
3. sprzecznych wtedy i tylko wtedy, gdy \( a_1b_2-a_2b_1 = 0 \space i \space c_1b_2-c_2b_1 \neq 0\)

Przyjmujemy oznaczenia:

\( W = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2-a_2b_1 \)

\( W_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2-c_2b_1 \)

\( W_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2-a_2c_1 \)

Jeżeli \( W \neq 0\), to rozwiązaniem układu równań \( \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \) jest para liczb \( x = {W_x \over W}, \quad y = {W_y \over W} \).

Wykresem układu równań niezależnych są dwie przecinające się proste.

Wykresem układu równań zależnych są dwie pokrywające się proste.

Wykresem układu równań sprzecznych są dwie proste równoległe.

Nierównością stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą z nierówności \( ax +by + c \gt 0 \quad lub \quad ax + by +c \lt 0 \), gdzie a i b nie są jednocześnie równe zeru.

Wykresem nierówności \( ax +by + c \gt 0 \) jest jedna z półpłaszczyzn otwartych wyznaczonych przez prostą \( ax +by + c = 0 \).

Wykresem nierówności \( ax +by + c \lt 0 \) jest druga z tych płaszczyzn otwartych.

Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba, wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna, zatem:

\( |a| = \begin{cases} a & \text{dla} \quad a \geq 0 \\ -a & \text{dla} \quad a \lt 0 \end{cases} \)