Zadania z geometrii analitycznej
Zadanie 1.
Napisać równanie okręgu \( S(1;-3) \) przechodzącego przez punkt \( A(3,5) \).
Zobacz rozwiązanie
Należy obliczyć długość promienia okręgu \( r=SA=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68} \)
Podstawiając do równania okręgu otrzymujemy:
\( (x-1)^2+(y+3)^2=68 \)
Zadanie 2.
Oblicz odległość \( d \) punktu \( P=(1,-3) \) od prostej \( l \) o równaniu \( 3x+4y-7=0 \).
Zobacz rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej:
\( d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-3)-7|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3-12-7|}{\sqrt{25}}=\frac{16}{5} \)
Zadanie 3.
W trójkącie \( ABC \) dane są \( A=(1;2) \), \( B=(2;-1) \), \( C=(4;3) \). Oblicz, jakie długości mają trzy wysokości tego trójkąta.
Zobacz rozwiązanie
Korzystając ze wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty wyznaczamy proste przechodzące przez punkty \( AB, BC, AC \):
\( l_{AB}=(-1-2)x-(2-1)y+2/cdot 2-1\cdot (-1)=0 \)
\( l_{AB}=-3x-y+5=0 \)
\( l_{AC}=(3-2)x-(4-1)y+4 /cdot 2-1\cdot 3=0 \)
\( l_{AC}=x-3y+5=0 \)
\( l_{AC}=(3-(-1))x-(4-2)y+4 /cdot (-1)-2\cdot 3=0 \)
\( l_{AC}=4x-2y-10=0 \)
Następnie korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej przechodzącej przez dwa punkty najpierw obliczymy wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołku \( A \) ma bok \( BC \):
\( d(A,l_{BC})=\frac{|4\cdot 1+(-2)\cdot 2+(-10)|}{\sqrt{4^2+(-2)^2}}=\frac{|4-4-10|}{\sqrt{20}}=\frac{10}{2\sqrt{5}}=\sqrt{5} \)
W kolejnym kroku obliczamy pozostałe wysokości (odległości punktów od prostych):
\( d(C;l_{AB})=\frac{|-3\cdot 4+(-1)\cdot 3+5|}{\sqrt{-3^2+(-1)^2}}=\frac{|-10|}{\sqrt{10}}=sqrt{10} \)
\( d(B;l_{AC})=\frac{|1\cdot 2+(-3)\cdot (-1)+5|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=sqrt{10} \)
Odpowiedź:
Szukane wysokość to: \( \sqrt{5},\sqrt{10},\sqrt{10} \)
Zadanie 4.
Znajdź równanie okręgu o promieniu \( r=3 \) przechodzącego przez punkty \( (2,1) \) i \( (-1,-2) \).
Zobacz rozwiązanie
Równanie tego okręgu ma postać \( (x-a)^2+(y-b)^2=3^2 \). POdstawiając współrzędne dwóch punktów leżących na tym okręgu, otrzymujemy:
\( (2-a)^2+(1-b)^2=9 \) i \( (-1-a)^2+(-2-b)^2=9 \), tj.
\( \begin{cases} 4-4a+a^2+1-2b+b^2=9 \\ 1+2a+a^2+4+4b+b^2=9 \end{cases} \)
Porządkujemy te dwa równania, a następnie drugie zastępujemy ich różnicą:
\( \begin{cases} a^2-4a+b^2-2b=4 \\ a^2+2a+b^2+4b=4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a^2-4a+b^2-2b=4 \\ -6a-6b=0 \end{cases} \)
Z drugiego równania ostatniego układu wyznaczamy \( b=-a \) i podstawiamy do równania pierwszego, otrzymując:
\( \begin{cases} a^2-4a+a^2+2a=4 \\ b=-a \end{cases} \)
\( \begin{cases} a^2-a-2=0 \\ b=-a \end{cases} \)
Stąd \( a_1=-1, a_2=2 \) i odpowiednio \( b_1=2,b_2=-2 \). Otrzymaliśmy więc równanie dwóch okręgów: \( (x+1)^2+(y-1)^2=9 \) i \( (x-2)^2 + (y+2)^2=9 \)
Zobacz Komentarze ( 0 )