Reguła mnożenia

Dzięki regule mnożenia wiemy na ile sposobów możemy wybrać coś z danego zbioru. Regułę mnożenia wykorzystujemy w wielu zadaniach z kombinatoryki, a najłatwiej wyjaśnić ją na prostych przykładach.

Przykład 1

Mamy do wyboru 3 zupy oraz 4 główne dania. Na ile sposobów możemy dokonać wyboru, jeżeli mamy wybrać jedną zupę i jedno danie główne?

Rozwiązanie

W pierwszym kroku dokonujemy wyboru zupy (mamy do wyboru 3 możliwości), a następnie wybieramy danie główne (mamy do wyboru 4 możliwości).

Reguła mnożenia mówi nam, że w takim wypadku mamy:

\[ 3 \cdot 4 = 12 \]

Przykład 2

Rzucamy 5 razy monetą. Ile jest możliwych wyników?

Rozwiązanie

W każdym rzucie możliwy jest jest jeden z dwóch wyników: Orzeł lub Reszka. Mamy również pięć powtórzeń, tak więc:

\[ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5=32 \]

Przykład 3

Ile jest liczb czterocyfrowych?

Rozwiązanie

Skoro mamy liczbę 4 cyfrową, to każdą z nich możemy oznaczyć jako zbiór: \( {x_1,x_2,x_3,x_4} \).

W taki wypadku zbiór \( x_1 \) zawiera liczby od 1 do 9, czyli \( x_1 \in {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \).

Zbiory \( x_2,x_3,x_4 \) co do wartości są sobie równe, czyli \( x_2, x_3,x_4 \in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \).

Z powyższego wynika, że w zbiorze \( x_1 \) mamy 9 elementów, natomiast zbiory \( x_2,x_3,x_4 \) mają po 10 elementów.

Zatem korzystając z reguły mnożenia możemy obliczyć, ile mamy liczb czterocyfrowych:

\[ 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000 \]

Odpowiedź

Wszystkich liczb czterocyfrowych mamy 9000.