Trójkąty podobne

Trójkąty podobne to takie, których kąty są takie same, a boki mają proporcjonalna długość:

\[ \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=k \]

k - skala podobieństwa \( \triangle{A'B'C'} \) do \( \triangle{ABC} \)

Stosunek pola \( P'_{\triangle{A'B'C'}} \) do \( P_{\triangle{ABC}} \) równy jest kwadratowi skali podobieństwa:

\[ \frac{P}{P}=k^{2} \]

Trójkąty podobne podlegają tym samym cechą podobieństwa co trójkąty przystające, z tym że długości ich boków muszą być proporcjonalne zamiast tej samej długości.

Przykład 1.

Trójkąt ABC i DEF są podobne do siebie. Najdłuższy bok tójkąta ABC ma długość 8cm, a najkrótszy ma długość 2cm. Najdłuższy bok tójkąta DEF ma długość 9cm. Jaka jest długość najkrótszego bok trójkąta DEF?

Rozwiązanie

Ilorazy długości najdłuższego i najkrótszego boku w obu trójkątach muszą być równe: Po podstawieniu danych do równości otrzymujemy:

\( \frac{8}{2}=\frac{9}{x} \)

Stąd:

\( 8x=18 \)

\( x=\frac{9}{4} \)

Odpowiedź:

Najkrótszy bok trójkąta DEF wynosi \( \frac{9}{4} \)cm.

Przykład 2.

Uzasadnij, że pary trójkątów przedstawione na poniższych rysunkach są podobne.

Rozwiązanie:

Podobieństwo pierwszej pary trójkątów możemy sprawdzić na podstawie cechy bok-kąt-bok. Ponieważ kąt zawarty pomiędzy bokami trójkątów jest taki sam, porównujemy jedyni długości boków, na których rozpościera się dany kąt:

\( \frac{14}{8}=\frac{7}{4} \)

Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego jest równa \( \frac{7}{4} \).

Druga para trójkątów jest podobna, ponieważ spełniona jest cecha bok-bok-bok. Porównując długości odpowiednich boków możemy to sprawdzić oraz obliczyć skalę podobieństwa:

\( \frac{12}{8}=\frac{9}{6}\frac{7,5}{4}=\frac{3}{2} \)

Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego jest równa \( \frac{3}{2} \).