Trójkąty podobne
Trójkąty podobne to takie, których kąty są takie same, a boki mają proporcjonalna długość:
\[ \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=k \]
k - skala podobieństwa \( \triangle{A'B'C'} \) do \( \triangle{ABC} \)
Stosunek pola \( P'_{\triangle{A'B'C'}} \) do \( P_{\triangle{ABC}} \) równy jest kwadratowi skali podobieństwa:
\[ \frac{P}{P}=k^{2} \]
Trójkąty podobne podlegają tym samym cechą podobieństwa co trójkąty przystające, z tym że długości ich boków muszą być proporcjonalne zamiast tej samej długości.
Przykład 1.
Trójkąt ABC i DEF są podobne do siebie. Najdłuższy bok tójkąta ABC ma długość 8cm, a najkrótszy ma długość 2cm. Najdłuższy bok tójkąta DEF ma długość 9cm. Jaka jest długość najkrótszego bok trójkąta DEF?
Rozwiązanie
Ilorazy długości najdłuższego i najkrótszego boku w obu trójkątach muszą być równe: Po podstawieniu danych do równości otrzymujemy:
\( \frac{8}{2}=\frac{9}{x} \)
Stąd:
\( 8x=18 \)
\( x=\frac{9}{4} \)
Odpowiedź:
Najkrótszy bok trójkąta DEF wynosi \( \frac{9}{4} \)cm.
Przykład 2.
Uzasadnij, że pary trójkątów przedstawione na poniższych rysunkach są podobne.
Rozwiązanie:
Podobieństwo pierwszej pary trójkątów możemy sprawdzić na podstawie cechy bok-kąt-bok. Ponieważ kąt zawarty pomiędzy bokami trójkątów jest taki sam, porównujemy jedyni długości boków, na których rozpościera się dany kąt:
\( \frac{14}{8}=\frac{7}{4} \)
Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego jest równa \( \frac{7}{4} \).
Druga para trójkątów jest podobna, ponieważ spełniona jest cecha bok-bok-bok. Porównując długości odpowiednich boków możemy to sprawdzić oraz obliczyć skalę podobieństwa:
\( \frac{12}{8}=\frac{9}{6}\frac{7,5}{4}=\frac{3}{2} \)
Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego jest równa \( \frac{3}{2} \).
Zobacz Komentarze ( 0 )