Wzór rekurencyjny ciągu

Ciąg możemy również przedstawić za pomocą wzoru rekurencyjnego. Podany mamy wówczas pierwszy wyraz ciągu, oraz wzór za pomoca możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu znając wyraz poprzedni.

Przykładem takiego ci moga być ciągi \( a_n \) oraz \( b_n \):

\( \begin{cases} a_1=2 \\ a_{n+1}=2a_n+1 \quad dla \space n \in \Bbb{N_+} \end{cases} \)

\( \begin{cases} b_1=3 \\ b_{n+1}=3b_n-4 \quad dla \space n \in \Bbb{N_+} \end{cases} \)

Przykład 1

Podaj trzeci wyraz ciągu danego wzorem rekurencyjnym:

\( \begin{cases} a_1=1 \\ a_{n+1}=a_n(2n+1) \quad dla \space n \in \Bbb{N_+} \end{cases} \)

Rozwiązanie

Najpierw musimy obliczyć pierwszy oraz drugi wyraz ciągu

\( a_{1}=1 \cdot(2\cdot 1+1)=3 \quad \)

\( a_{2}=3 \cdot(2\cdot 2+1)=15 \quad \)

\( a_{3}=15 \cdot(2\cdot 3+1)=105 \quad \)