Proste równoległe i prostopadłe

Warunek równoległości i prostopadłości prostych przy równaniu kierunkowym

Proste \( y=a_{1}x+b_1 \), \( y=a_{2}x+b_2 \) są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy:

\[ a_1=a_2 \]

Proste \( y=a_{1}x+b_1 \), \( y=a_{2}x+b_2 \) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy:

\[ a_1 \cdot a_2 =-1 \]

Warunek równoległości i prostopadłości prostych przy równaniu ogólnym

Proste \( A_{1}x+B_{1}y+C_1=0 \), \( A_{2}x+B_{2}y+C_2=0 \) są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy:

\[ A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0 \]

Proste \( A_{1}x+B_{1}y+C_1=0 \), \( A_{2}x+B_{2}y+C_2=0 \) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy:

\[ A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0 \]

Przykład 1.

Sprawdź czy proste \( y=x+3 \) oraz \( y=3x+5 \) są równoległe?

Rozwiązanie:

Ponieważ współczynnik kierunkowy jednej prostej jest równy 1, a drugiej 3, więc proste nie są równoległe ponieważ \( 1\neq 3 \).

Przykład 2.

Znajdź równanie prostej równoległej do prostej \( y=2x+5 \) i przechodzącej przez punkt \( A=(2,0) \).

Rozwiązanie:

Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej \( y=2x+5 \) jest równy \( 2 \), to również współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej musi wynosić \( 2 \). Podstawiając współrzędne punktu \( A \) do równania \( y=2x+b \) w następujący sposób:

\( 0=3 \cdot 2 +b \), stąd wyznaczamy \( b=-6 \)

Zatem szukana prosta to \( y=3x-6 \).

Przykład 3.

Sprawdź czy proste \( y=\frac{1}{3}x-4 \) oraz \( y=-3x+5 \) są prostopadłe?

Rozwiązanie:

Ponieważ iloczyn \( \frac{1}{3} \cdot -3 \) współczynników kierunkowych jest równy \( -1 \), więc proste te są do siebie prostopadłe.

Przykład 4.

Znajdź równanie prostej prostopadłej do prostej \( y=2x+5 \) i przechodzącej przez punkt \( A=(2,0) \).

Rozwiązanie:

Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej \( y=2x+5 \) jest równy \( 2 \), to współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej musi wynosić \( -\frac{1}{2} \). Podstawiając współrzędne punktu \( A \) do równania \( y=-\frac{1}{2}x+b \) w następujący sposób:

\( y=-\frac{1}{2}\cdot 2+b \) znajdziemy \( b=1 \)

Zatem szukana prosta to \( y=-\frac{1}{2}x+1 \).