Różne zadania z wyrażeń wymiernych
Zadanie 1.
Wykonać działania:
\( \frac{8x}{x-9x^3} + \frac{3x}{x+3x^2} - \frac{2-6x}{(1-3x)^2} \)
Zobacz rozwiązanie
Rozkładamy mianowniki ułamków na czynniki:
\( \frac{8x}{x(x-9x^2)} + \frac{3x}{x(x+3x)} - \frac{2-6x}{(1-3x)^2} = \) \( \frac{8x}{x(x-3)(x+3)} + \frac{3x}{x(x+3x)} - \frac{2-6x}{(1-3x)^2} \)
Ustalamy dziedzinę \( x \neq 0 \quad i \quad x \neq \frac{1}{3} \quad i \quad x \neq -\frac{1}{3} \)
Sprowadzamy do wspólnego mianownika
\( \frac{8x(1-3x)+3x(1-3x)^2-(2-6x)x(1+3x)}{x(1+3x)(1-3x)} = \) \( \frac{8x-24x^2+3x(1-6x+9x^2)-(2-6x)(x+3x^2)}{x(1+3x)(1-3x)^2} = \) \( \frac{8x-24x^2+3x-18x^2+27x^3-21-6x^2+6x^2+18x^3}{x(1+3x)(1-3x)^2} = \) \( \frac{45x^3-42x^2+9x}{x(1+3x)(1-3x)^2} = \frac{x(45x^2-42x+9)}{x(1+3x)(1-3x)^2} = \) \( \frac{45\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{3}{5}\right)}{(1+3x)(1-3x)^2} = \) \( \frac{15\left(x-\frac{3}{5}\right)}{(1+3x)(3x-1)} \)
Zadanie 2.
Rozwiąż nierówność: \( \frac{(3x^2+4x-4)}{(x^2+x-2)} \gt 1, \space D=\Bbb{R}-\{-2;1\} \)
Zobacz rozwiązanie
\( \frac{3x^2+4x-4}{x^2+x-2} -1 \gt 0 \iff \frac{2x^2+3x-2}{x^2+x-2} \gt 0 \iff 2x^2+3x-2 \)
\( (x^2+x-2) \gt 0 \leftrightarrow 2(x+2)(x-\frac{1}{2})(x+2)(x-1) \gt 0 \iff \) \( \iff 2(x+2)^2 \left( x- \frac{1}{2} \right)(x-1) \gt 0 \)
Rysujemy przybliżony wykres wielomianu
\( W(x)= 2(x+2)^2 \left( x- \frac{1}{2} \right)(x-1) \)
Ostatecznie:
\( x \in (-\infty,-2)\cup(-2,\frac{1}{2})\cup(1,+\infty) \)
Zobacz Komentarze ( 0 )