Podstawowe definicje i własności wyrażeń wymiernych

Niech W(x) i G(x) oznaczają wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej i niech B oznacza zbiór pierwiastków wielomianu G(x). Funkcję określoną na zbiorze R-B

\( x \rightarrow F(x)= \frac{W(x)}{G(x)} \)

Nazywamy funkcją wymierną jednej zmiennej rzeczywistej x.

Dwie funkcje wymierne F(x) i H(x) nazywamy równoważnymi jeśli określone są w tej samej dziedzinie i dla każdego argumentu przyjmują równe wartości.

Funkcją homograficzną nazywamy

\( x \rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}, \text{ gdzie } c \neq 0, \space ad-bc \neq 0 \text{ i } x \neq -\frac{d}{c} \)

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, a proste \( x=-\frac{d}{c} \), i \( y=\frac{a}{c} \) nazywają się asymptotami tej hiperboli.

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci:

\( \frac{W(x)}{G(x)} = 0 \), gdzie W(x) i G(x) są wielomianami.

Nierównością wymierną nazywamy nierówność postaci:

\( \frac{W(x)}{G(x)} \gt 0 \quad lub \quad \frac{W(x)}{G(x)} \lt 0 \)

Znajdowanie wspólnego mianownika funkcji wymiernych:

1. Rozkładamy wszystkie mianowniki na czynniki,
2. Tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszego mianownika, tych czynników drugiego, których nie było w pierwszym, tych czynników trzeciego, których nie było ani w pierwszym, ani w drugim itd.