Schemat Hornera
Schemat Hornera służy do dzielenie wielomianu przez dwumian.
Ograniczenia Schematu Hornera
- Musimy mieć uporządkowany wielomian od stopnia najwyższego do najniższego.
- Dwumian musi być stopnia pierwszego w postaci (x+a) lub x-a), gdzie \( a \in Bbb{R} \).
- Dzielenie przez dwumian stopnia większego niż pierwszego jest niemożliwe, np. \( (3x^3-2x^2+5x-2):(x^3+3) \) jest niewykonalne przez schemat Hornera.
Dla wytłumaczenia schematu Hornera najlepiej posłużyć się przykładem:
\( (3x^3-2x^2+5x-2):(x+2) \)
Krok 1
Tworzymy tablelkę, w której zapisujemy w górnym rzędzie zapisujemy kolejne współczynniki uporządkowania wielomianu, w drugim rzędzie w lewym wierszu wpisujemy liczbę, która jest miejscem zerowym dla dwumianu przez który dzielimy, w naszym przypadku dzielimy przez (x+2), czyli miejscem zerowym jest -2. A trzeci rząd zostawiamy narazie pustym, będzie on nam służył do obliczeń.
| 3 | -2 | 5 | -2 | współczynniki wielomianu | |
|---|---|---|---|---|---|
| -2 | iloczyny | ||||
| reszta |
Ważne! Należy pamiętać, że jeśli mamy wielomian, dla którego nie ma kolejnej potęgi, to należy wpisać 0, gdyż jedynie współczynnik przy wyrazie wielomianu jest równy 0, a nie sam wyraz, np.
dla \( W(x)= 5x^4 +2x^2 -5 \) pełny zapis będzie wyglądał następująco:
\( W(x) = 5x^4 +0x^3 +2x^2 +0x^1 -5x^0 \), czyli do naszej tablelki będzimy wpisywać następujące wartości: +5, 0, +2, 0, -5
Krok 2
Przepisujemy pierwszy współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu do 3 rzędu, w naszym wypadku jest to 3.
| 3 | -2 | 5 | -2 | współczynniki wielomianu | |
|---|---|---|---|---|---|
| -2 | iloczyny | ||||
| 3 | reszta |
Krok 3
Następnie mnożymy nasze miejsce zerowe (-2) przez wcześniej wpisaną wartość (3) i wynik tego mnożenia zapisujemy w drugim rzędzie pod wartością (-2). Po wpisaniu wartości mnożenia, w naszym przypadku (-6), sumujemy kolumnę wspiując wynik sumowania w 3 rzędzie, tzn \( -2+(-6)=-8 \).
| 3 | -2 | 5 | -2 | współczynniki wielomianu | |
|---|---|---|---|---|---|
| -2 | \( -2 \cdot 3 =-6 \) | iloczyny | |||
| 3 | \( -2+(-6)=-8 \) | reszta |
Krok 4
W kolejnym kroku wykonujemy mnożenie nszego miejsca zerowego (-2) przez otrzymaną sumę z kroku wcześniejszego (-8), a wynik tego mnożenia zapisujemy w drugim rzędzie pod wartością (+5). Następnie postępujemy analogicznie sumując kolumnę i zapisując wynik w 3 rzędzie tzn, \( 5+(-2 \cdot -8)=21 \).
| 3 | -2 | 5 | -2 | współczynniki wielomianu | |
|---|---|---|---|---|---|
| -2 | -6 | \( -2 \cdot -8 =16 \) | iloczyny | ||
| 3 | -8 | \( 5 + 16 = 21 \) | reszta |
Krok 4
W ostatnim kroku powtarzamy analogicznie czynności, czyli mnożymy nasze miejsce zerowe (-2) przez wynik ostatniego sumowania (21), wynik zapisujemy w drugim rzędzie ostatniej kolumny pod (-2). Natępnie sumujemy wartości z ostatniej kolumny \( -2+(-2 \cdot 21) = -44 \), a w ten sposób powstały wynik sumowania jest naszą resztą z dzielenia wielomianu \( W(x)= (3x^3-2x^2+5x-2) \) przez dwumian \( (x+2) \).
| 3 | -2 | 5 | -2 | współczynniki wielomianu | |
|---|---|---|---|---|---|
| -2 | -6 | 16 | \( -2 \cdot 21 = -42 \) | iloczyny | |
| 3 | -8 | 21 | \( -2 + (-42) = -44 \) | reszta |
Zatem \( 3x^3-2x^2+5x-2=(x+2)(3x^2-8x+21)-44 \), gdzie \( -44 = W(-2) \)
Zobacz Komentarze ( 0 )