Schemat Hornera

Schemat Hornera służy do dzielenie wielomianu przez dwumian.

Ograniczenia Schematu Hornera

  • Musimy mieć uporządkowany wielomian od stopnia najwyższego do najniższego.
  • Dwumian musi być stopnia pierwszego w postaci (x+a) lub x-a), gdzie \( a \in Bbb{R} \).
  • Dzielenie przez dwumian stopnia większego niż pierwszego jest niemożliwe, np. \( (3x^3-2x^2+5x-2):(x^3+3) \) jest niewykonalne przez schemat Hornera.

Dla wytłumaczenia schematu Hornera najlepiej posłużyć się przykładem:

\( (3x^3-2x^2+5x-2):(x+2) \)

Krok 1

Tworzymy tablelkę, w której zapisujemy w górnym rzędzie zapisujemy kolejne współczynniki uporządkowania wielomianu, w drugim rzędzie w lewym wierszu wpisujemy liczbę, która jest miejscem zerowym dla dwumianu przez który dzielimy, w naszym przypadku dzielimy przez (x+2), czyli miejscem zerowym jest -2. A trzeci rząd zostawiamy narazie pustym, będzie on nam służył do obliczeń.

  3 -2 5 -2 współczynniki wielomianu
-2         iloczyny
          reszta

Ważne! Należy pamiętać, że jeśli mamy wielomian, dla którego nie ma kolejnej potęgi, to należy wpisać 0, gdyż jedynie współczynnik przy wyrazie wielomianu jest równy 0, a nie sam wyraz, np.

dla \( W(x)= 5x^4 +2x^2 -5 \) pełny zapis będzie wyglądał następująco:

\( W(x) = 5x^4 +0x^3 +2x^2 +0x^1 -5x^0 \), czyli do naszej tablelki będzimy wpisywać następujące wartości: +5, 0, +2, 0, -5

Krok 2

Przepisujemy pierwszy współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu do 3 rzędu, w naszym wypadku jest to 3.

  3 -2 5 -2 współczynniki wielomianu
-2         iloczyny
  3       reszta
Krok 3

Następnie mnożymy nasze miejsce zerowe (-2) przez wcześniej wpisaną wartość (3) i wynik tego mnożenia zapisujemy w drugim rzędzie pod wartością (-2). Po wpisaniu wartości mnożenia, w naszym przypadku (-6), sumujemy kolumnę wspiując wynik sumowania w 3 rzędzie, tzn \( -2+(-6)=-8 \).

  3 -2 5 -2 współczynniki wielomianu
-2   \( -2 \cdot 3 =-6 \)     iloczyny
  3 \( -2+(-6)=-8 \)     reszta
Krok 4

W kolejnym kroku wykonujemy mnożenie nszego miejsca zerowego (-2) przez otrzymaną sumę z kroku wcześniejszego (-8), a wynik tego mnożenia zapisujemy w drugim rzędzie pod wartością (+5). Następnie postępujemy analogicznie sumując kolumnę i zapisując wynik w 3 rzędzie tzn, \( 5+(-2 \cdot -8)=21 \).

  3 -2 5 -2 współczynniki wielomianu
-2   -6 \( -2 \cdot -8 =16 \)   iloczyny
  3 -8 \( 5 + 16 = 21 \)   reszta
Krok 4

W ostatnim kroku powtarzamy analogicznie czynności, czyli mnożymy nasze miejsce zerowe (-2) przez wynik ostatniego sumowania (21), wynik zapisujemy w drugim rzędzie ostatniej kolumny pod (-2). Natępnie sumujemy wartości z ostatniej kolumny \( -2+(-2 \cdot 21) = -44 \), a w ten sposób powstały wynik sumowania jest naszą resztą z dzielenia wielomianu \( W(x)= (3x^3-2x^2+5x-2) \) przez dwumian \( (x+2) \).

  3 -2 5 -2 współczynniki wielomianu
-2   -6 16 \( -2 \cdot 21 = -42 \) iloczyny
  3 -8 21 \( -2 + (-42) = -44 \) reszta

Zatem \( 3x^3-2x^2+5x-2=(x+2)(3x^2-8x+21)-44 \), gdzie \( -44 = W(-2) \)

Zobacz również:

Zobacz Komentarze ( 0 )

Dodając komentarz, oświadczasz, że akceptujesz regulamin forum*