Różne zadania z wielomianów
Zadanie 1.
Dla jakiej wartości a wielomian \( 2ax^3-4x^2+ax-2a \) jest podzielny przez \( x-2 \)?
Zobacz rozwiązanie
Reszta z podzielenia wielomianu przez \( x-2 \) musi być równa zero. R=W(2)=16a-16+2a-2a=0, stąd a=1.
Zadanie 2.
Dla jakich wartości a,b,c wielomian \( F(x)=x^4-x^3+ax^2+bx+c \) jest podzielny przez każdy z dwumianów: \( x-1, \space x-2, \space x-3 \).
Zobacz rozwiązanie
Należy rozwiązać układ równań:
\( \begin{cases} W(1)=0 \\ W(-2)=0 \\ W(3)=0 \end{cases} \) \( \begin{cases} a+b+c=0 \\ 4a-2b+c=24 \\ 9a+3b+c=-54 \end{cases} \) \( \begin{cases} a=-7 \\ b=1 \\ c=6 \end{cases} \)
Zadanie 3.
Rozłożyć wielomian \( x^5-2x^4-x+2 \) na czynniki.
Zobacz rozwiązanie
\( x^4(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^4-1)=(x-2)(x^2-1)(x^2+1)=(x-2)(x-1)(x+1)(x^2+1) \)
Zadanie 4.
Rozwiąż równanie \( x^4+3-|3x^3+x|=0 \)
Zobacz rozwiązanie
\( x^4+3-|x||3x^2+1|=0 \)
dla \( x \geqslant 0 \)
\( x^4+3-x(3x^2+1)=0, \quad x^4-3x^3-x+3=0, \quad \) \( x^3(x-3)-(x-3)=0, \quad (x-3)(x^3-1)=0 \)
\( (x-3)(x-1)(x^2+x+1)=0, \quad \forall{x}(x^2+x+1) \gt 0 \)
Stąd \( x=1 \lor x=3 \)
dla \( x \lt 0 \)
\( x^4+3+x(3x^2+1)=0, \quad x^4+3x^3+x+3=0, \quad \) \( x^3(x+3)+x+3=0, \quad (x+3)(x^3+1)=0 \)
Stąd \( x=-3 \lor x=-1 \)
Odpowiedź:
\( x_1=-3, \quad x_2=-1, \quad x_3=1, \quad x_4=3 \)
Zadanie 5.
Rozwiąż równanie \( x^3-7x-6=0 \)
Zobacz rozwiązanie
Pierwiastkami całkowitymi danego równania mogą być jedynie podzielniki wyrazu wolnego, a więc liczby: -1,+1,-2,+2,-3,+3,-6,+6. Oznaczamy wielomian występujący po lewej stronie równania W(x) i sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem:
W(1)=1-7-6=-12
W(-1)=-1+7-6=0 a więc -1 jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Zatem W(x) jest podzielny przez x+1
| \( (x^3-7x-6):(x+1)=x^2-x-6 \) |
| \( \underline{-x^3-x^2} \) |
| \(= \space \space -x^2-7x \) |
| \( \qquad \space \space \underline{x^2+x} \) |
| \(\qquad \space \space =-6x-6 \) |
| \( \qquad \qquad \space \underline{6x+6} \) |
| \(\qquad \qquad \space = \space = \) |
stąd \( (x+1)(x^2-x-6)=0 \)
\( x=-1 \space \lor \space x^2-x-6=0 \)
\( x=-2, \quad x=3 \)
Odpowiedź:
Pierwiastkami równania \( x^3-7x-6=0 \) są liczby \( x=-2, \space x=-1, \space x=3 \).
Zadanie 6.
Dla jakich wartości a i b liczba 2 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu \( W(x)=x^3+4x^2+ax+b \).
Zobacz rozwiązanie: I sposób
\( W(x) \) dzielimy przez \( (x-2)^2 \), otrzymana reszta musi być równa zero dla każdego x.
| \( (x^3+4x^2+ax+b):(x^2-4x+4)=x+8 \) |
| \( \underline{-x^3+4x^2-4x} \) |
| \(= \qquad 8x^2+x(a-4)+b \) |
| \( \qquad \space \underline{-8x^2+32x-32} \) |
| \(\qquad \quad = \quad x(a+28)+b-32 \) |
\( \forall x (a+28)x+b-32=0 \)
\( a+28=0 \) i stąd \( b-32 = 0, \space b=32, \space a=-28 \)
Zobacz rozwiązanie: II sposób
\( W(2)=0 \space i \space W'(2)=0 \)
\( 8+16+2a+b=0 \quad 2a+b=0 \)
\( W'(x)=3x^2+8x+a \)
\( W'(2)=12+16+a=0 \)
\( \begin{cases} 12+16+a=0 \\ 2a+b=-24 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a=-28 \\ b=32 \end{cases} \)
Zadanie 7.
Rozwiąż nierówność \( x^4+x^3-x-1 \leq 0 \).
Zobacz rozwiązanie
Lewą stronę nierówności rozkładamy na czynniki
\( x^3(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^3-1)=(x+1)(x-1)(x^2+x+1) \leq 0 \)
Trójmian kwadratowy \( x^2+x+1 \) jest dodatni dla każdego x wobec tego możemy podzielić obie strony ostatniej nierówności przez ten trójmian, otrzymamy \( (x+1)(x-1) \leq 0 \), stąd \( x \in \lt -1,1 \gt \).
Zadanie 8.
Rozwiąż nierówność \( \frac{(x^2-4x-21)}{(x^2-5x+6)} \gt 0 \)
Zobacz rozwiązanie
Ułamek jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn licznika i mianownika jest dodatni. Dana nierówność jest równoważna nierówności \( (x^2-4x-21)(x^2-5x+6) \gt 0 \)
\( (x+3)(x-7)(x-2)(x-3) \gt 0 \)
Odpowiedź:
\( x \in (-\infty ,-3)\cup(2,3)\cup(7,+ \infty ) \)
Zobacz Komentarze ( 0 )