Rozkład wielomianów na czynniki
Przy rozkładaniu wielomianów na czynniki możemy stosować następujące metody:
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
np. \( 3x^4-4x^3+2x^2+7x= x(3x^3-4x^2+2x+7) \)
Grupowanie wyrazów
np. \( x^3+3x^2+x+3=(x^3+2x^2)+(x+3)= x^2(x+3)+(x+3)=(x+3)(x^2+1) \)
Stosowanie wzorów skróconego mnożenia
np. \( x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)x^2+4) \)
np. \( x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \)
Przedstawienie trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej
np. \( x^2-x-6=(x-3)(x+2) \)
Przykład 1.
Rozłóż wielomian \( W(x)=x^2-9 \) na czynniki.
Rozwiązanie
Przy rozwiązaniu tego przykładu korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
Z tego wynika:
\( W(x)=(x^2-9)=(x-3)(x+3) \)
Odpowiedź
\( W(x)=(x-3)(x+3) \)
Przykład 2.
Zapisz wielomian \( W(x)=(x+1)^2(x+2)(x+3)(x-1) \) w postaci ogólnej.
Rozwiązanie
\( (x+1)^2(x+2)(x+3)(x-1) = \)
\( (x^2+2x+1)(x^2+5x+6)(x-1)= \)
\( (x^4+5x^3+6x^2+2x^3+10x^2+12x+x^2+5x+6)(x-1) = \)
\( (x^4+7x^3+17x^2+17x+6)(x-1)= \)
\( x^5+7x^4+17x^3+17x^2+6x-x^4-7x^3-17x^2-17x-6= \)
\( x^5+6x^4+10x^3-11x+6 \)
Odpowiedź
Postać ogólna wielomianu \( W(x)=(x+1)^2(x+2)(x+3)(x-1) \) to \( x^5+6x^4+10x^3-11x+6 \)
Zobacz Komentarze ( 0 )