Rozkład wielomianów na czynniki

Przy rozkładaniu wielomianów na czynniki możemy stosować następujące metody:

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

np. \( 3x^4-4x^3+2x^2+7x= x(3x^3-4x^2+2x+7) \)

Grupowanie wyrazów

np. \( x^3+3x^2+x+3=(x^3+2x^2)+(x+3)= x^2(x+3)+(x+3)=(x+3)(x^2+1) \)

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

np. \( x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)x^2+4) \)

np. \( x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \)

Przedstawienie trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej

np. \( x^2-x-6=(x-3)(x+2) \)

Przykład 1.

Rozłóż wielomian \( W(x)=x^2-9 \) na czynniki.

Rozwiązanie

Przy rozwiązaniu tego przykładu korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

Z tego wynika:

\( W(x)=(x^2-9)=(x-3)(x+3) \)

Odpowiedź

\( W(x)=(x-3)(x+3) \)

Przykład 2.

Zapisz wielomian \( W(x)=(x+1)^2(x+2)(x+3)(x-1) \) w postaci ogólnej.

Rozwiązanie

\( (x+1)^2(x+2)(x+3)(x-1) = \)

\( (x^2+2x+1)(x^2+5x+6)(x-1)= \)

\( (x^4+5x^3+6x^2+2x^3+10x^2+12x+x^2+5x+6)(x-1) = \)

\( (x^4+7x^3+17x^2+17x+6)(x-1)= \)

\( x^5+7x^4+17x^3+17x^2+6x-x^4-7x^3-17x^2-17x-6= \)

\( x^5+6x^4+10x^3-11x+6 \)

Odpowiedź

Postać ogólna wielomianu \( W(x)=(x+1)^2(x+2)(x+3)(x-1) \) to \( x^5+6x^4+10x^3-11x+6 \)

Zobacz również:

Zobacz Komentarze ( 0 )

Dodając komentarz, oświadczasz, że akceptujesz regulamin forum*