Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów wykonujemy dwoma sposobami:

  • Dzielenie wielomianów metodą pisemną
  • Dzielenie wielomianów stosując schemat Hornera

Dzielenie wielomianów metodą pisemną

Dzielenie wielomianów metodą pisemną jest bardzo podobne do dzielenia liczb całkowitych. Przy dzieleniu wielomianów podobnie jak przy dzieleniu liczb całkowitych również otrzymujemy częściowy iloraz i resztę z dzielenia. Przed rozpoczęciem dzielenia należy uporządkować wielomian, tzn. zapisać wyrazy od najwyższego stopnia do najniższego.

Sposób dzielenia omówimy na przykładzie dzieląc wielomian \( W(x)=3x^3+8x^2-8 \) przez dwumian \( Q(x)=x+2 \).

\( (3x^3+8x^2-8):(x+2) \)

W pierwszym kroku dzielimy jednomian \( 3x^3 \) przez jednomian \( x \) i otrzymujemy \( 3x^2 \)

\( (3x^3+8x^2-8):(x+2) = 3x^2 \)

Następnie powstały w ten sposób wynik dzielenia tj \( 3x^2 \) mnożemy z odwrotnym znakiem przez dwumian Q(x)=x+2, a wynik zapisujemy pod wielomianem W(x)

\( \space \space(3x^3+8x^2-8):(x+2) = 3x^2 \)
\( \underline{-3x^3-6x^2} \)

W kolejnym kroku tak jak w dzieleniu pod kreską sumujemy wielomiany \( (3x^3+8x^2-8) \) i \( (-3x^3-6x^2) \) otrzymując w ten sposób \( 2x^2-8 \), powstały wynik zapisujemy pod kreską

\( \space \space(3x^3+8x^2-8):(x+2) = 3x^2 \)
\( \underline{-3x^3-6x^2} \)
\(= \qquad \space \space 2x^2-8 \)

W kolejnym kroku podobnie jak na początku dzielimy jednomian \( 2x^2 \) przez jednomian \( x \) i otrzymujemy \( 2x \)

\( (3x^3+8x^2-8):(x+2) = 3x^2+2x \)

Następnie postępujemy analogicznie jak wcześniej i mnożymy \( 2x \) z odwrotnym znakiem przez dwumian \( Q(x)=x+2 \) zapisując powstały wynik pod naszym działaniem.

\( \space \space(3x^3+8x^2-8):(x+2) = 3x^2+2x \)
\( \underline{-3x^3-6x^2} \)
\(= \qquad \space \space 2x^2-8 \)
\(= \quad \space -2x^2-4x \)

Następnie sumujemy wielomiany \( (2x^2-8) \) i \( (-2x^2-4x) \), a powstały wynik \( (-4x-8) \) zapisujemy pod kreską.

\( \space \space(3x^3+8x^2-8):(x+2) = 3x^2+2x \)
\( \underline{-3x^3-6x^2} \)
\(= \qquad \space \space 2x^2-8 \)
\(= \quad \space \space \underline{-2x^2-4x} \)
\(= \qquad \qquad -4x-8 \)

Postępując analogicznie jak wcześniej dzielimy -4x przez x otrzymując -4 i zapisując jakie w wyniku naszego dzielenia.

\( (3x^3+8x^2-8):(x+2) = 3x^2+2x-4 \)

W następnym kroku mnożymy -4 z odwrotnym znakiem przez nasz dwumian \( Q(x)=x+2 \) zapisując powstały wynik pod naszym działaniem.

\( \space \space(3x^3+8x^2-8):(x+2) = 3x^2+2x-4 \)
\( \underline{-3x^3-6x^2} \)
\(= \qquad \space \space 2x^2-8 \)
\(= \quad \space \space \underline{-2x^2-4x} \)
\(= \qquad \qquad -4x-8 \)
\(= \qquad \qquad \quad \space 4x+8 \)

W ostatnim juz kroku sumując \(-4x-8 \) i \( 4x+8 \) otrzymujemy resztę z naszego dzielenia, w tym przypadku równą 0. Czyli wynikem dzielenia wielomianu \( W(x)=3x^3+8x^2-8 \) przez dwumian \( Q(x)=x+2 \) jest wielomian \( 3x^2+2x-4 \)

Twierdzenie - Dzielenie wielomianów z resztą

Dla dowolnych wielomianów W(x) i P(x) różnego od zera istnieją wielomiany Q(x) i R(x) takie, że stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x) i Q(x) jest dwumianem, przez który dzielimy W(x), P(x) jest ilorazem częściowym wielomianu W(x) przez Q(x), a R(x) jest resztą z dzielenia tych wielomianów.

\[ W(x)=Q(x) \cdot P(x)+R(x) \]

Twierdzenie - O reszcie z dzielenie wielomianów przez dwumian

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-a) jest równa W(a), czyli wartości tego wielomianu dla argumentu a.

 

W przypadku dzielenia wielomianu przez dwumian możemy otrzymać resztę różną od zera.

\( \space \space(2x^3+3x^2-2x-5):(x-3) = 2x^2+9x+25 \)
\( \underline{-2x^3+6x^2} \)
\(= \qquad \space 9x^2-2x-5 \)
\(= \quad \space \space \underline{-9x^2+27x} \)
\(= \qquad \qquad \quad 25x-5 \)
\(= \qquad \qquad \space \underline{-25x+75} \)
\(= \qquad \qquad \qquad \qquad 70 \)

Z tego:

\( 2x^3+3x^2-2x-5=(x-3)(2x^2+9x+25)+70 \)

Zobacz również:

Zobacz Komentarze ( 0 )

Dodając komentarz, oświadczasz, że akceptujesz regulamin forum*