Iloczyn skalarny wektorów

Iloczyn skalarny wektorów \( \overrightarrow{a} \) i \( \overrightarrow{b} \) (\( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \neq 0 \)) można wyliczyć wyliczyć, znając długość tych wektorów oraz miarę kąta \( \alpha \) między nimi.

\[ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}= |\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos{\alpha} \]

Iloczyn skalarny możemy również obliczyć znając współrzędne wektorów \( \overrightarrow{a}=[x_a;y_a] \), \( \overrightarrow{b}=[x_b;y_b] \)

\[ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}= x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b \]

Jeżeli iloczyn skalarny dwóch wektorów niezerowych jest równy 0, to wówczas wektory te są prostopadłe (warunek prostopadłości wektorów \( \cos{90^\circ}=0 \))

Warunek równoległości dwóch niezerowych wektorów

\[ \overrightarrow{a} || \overrightarrow{b} \iff d \left( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right)=0 \iff a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1=0 \]

Wyznacznik uporządkowany pary wektorów

Wyznacznikiem uporządkowanym pary wektorów niezerowych \( ( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} ) \) o współrzędnych \( \overrightarrow{a}=[a_1,a_2] \), \( \overrightarrow{b}=[b_1,b_2] \) nazywamy liczbę:

\[ d(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2-a_2b_1 \]

Przykład 1.

Oblicz iloczyn skalarny \( \overrightarrow{a} \) i \( \overrightarrow{b} \), wiedząc, że \( |\overrightarrow{a}|=5 \) i \( |\overrightarrow{b}|=2 \) oraz miara kąta \( \alpha \) między nimi wynosi \( 30^{\circ} \).

\( \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}=5 \cdot 2 \cdot \cos{30^{\circ}}=10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \)

Przykład 2.

Oblicz iloczyn skalarny dla wektorów \( \overrightarrow{a} \) i \( \overrightarrow{b} \), wiedząc, że \( \overrightarrow{a}=[-1;4] \) i \( \overrightarrow{b}=[2;-5] \).

\( \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}= (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-5)= (-2)+(-20)=-22 \)