Definicja wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna liczby \( x \in \Bbb{R} \) jest to liczba \( |x| \), którą określamy następująco:

\[ |x|=\begin{cases} x \quad \text{gdy } x \geq 0 \\ -x \quad \text{gdy } x \lt 0 \end{cases} \]

Z definicji tej wynika:

• wartość bezwzględna liczby nieujemnej x jest równa tej samej liczbie x
• wartość bezwzględna liczby ujemniej x jest równa -x, czyli liczbie przeciwnej do x

Przykład

\( |-3|=3 \), \( |6|=6 \), \( |0|=0 \), \( \left|\frac{1}{3}\right|= \frac{1}{3}\)

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Odległość punktu o wspórzędnej \( x \) od punktu zerowego jest równa \( |x| \).

Jeżeli \( a \geq 0 \) i \( b \geq 0 \), to również \( a + b \geq 0 \), więc z tego wynika że:

\[ |a+b|=a+b=|a|+|b| \]

Jeżeli \( a \lt 0 \) i \( b \lt 0 \), to również \( a + b \lt 0 \), więc z tego wynika że:

\[ |a+b|=-(a+b)=-a+(-b)=|a|+|b| \]

Jeżeli \( a \lt 0 \) i \( b \geq 0 \), to:

\[ |a+b| \leq |a|+|b| \]

Przykład

\( |4+(-1)| \lt |+4|+|+1| \)

\( |(-3)+(-5)| = |-3|+|-5| \)

Własności wartości bezwzględnej

• wartość bezwzględnej liczby \( x \) różnej od 0 jest równa większej z liczb \( x,-x \)
• odległość punktu o współrzędnej \( a \) od 0 na osi liczbowej jest równa \( |a| \)
• odległość punktów o współrzędnych \( x_1,x_2 \) na osi liczbowej jest równa \( x_1-x_2 \)
• \( |a+b| \leq |a|+|b| \) dla \( a,b \in \Bbb{R} \)
• \( \left| |a|-|b| \right| \leq |a-b| \leq |a|+|b| \) dla \( a,b \in \Bbb{R} \)
• \( |ab|=|a|\cdot |b| \) dla \( a,b \in \Bbb{R} \)
• \( \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} \) dla \( a,b \in \Bbb{R}, b \neq 0 \)