Wzory trygonometryczne

Wzory na tangens i cotangens

• \( \text{tg}\alpha = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \)
• \( \text{ctg}\alpha = \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \)
• \( \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} \)
• \( \text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} \)
• \( \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 \)

Jedynka trygonometryczna

• \( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \)

Funkcja trygonometryczna podwojonego kąta

• \( \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \)
• \( \cos{2\alpha}=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=1-2\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha -1 \)
• \( \text{tg}2\alpha = \frac{2\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}^{2}\alpha} = \frac{2}{\text{ctg}\alpha-\text{tg}\alpha} \)
• \( \text{ctg}2\alpha = \frac{\text{ctg}^2\alpha -1}{2\text{ctg}\alpha} = \frac{\text{ctg}\alpha -\text{tg}\alpha}{2} \)

Funkcja trygonometryczna potrojonego kąta

• \( \sin{3\alpha}=\sin{\alpha}(3\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha})=\sin{\alpha}(3-4\sin^2{\alpha}) \)
• \( \cos{3\alpha}=\cos{\alpha}(\cos^2{\alpha}-3\sin^2{\alpha})=\cos{\alpha}(4\cos^2{\alpha}-3) \)
• \( \text{tg}{3\alpha}= \frac{\text{tg}\alpha(3-\text{tg}^{2}\alpha)}{1-3\text{tg}^{2}\alpha} \)
• \( \text{ctg}{3\alpha}= \frac{\text{ctg}\alpha(\text{ctg}^{2}\alpha-3)}{3\text{ctg}^{2}\alpha-1} \)

Funkcja trygonometryczna połowy kąta

• \( \sin{\frac{\alpha}{2}}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}} \)
• \( \cos{\frac{\alpha}{2}}= \pm \sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}} \)

"+" lub "-" wybieramy zależnie od tego, do której "ćwiartki" należy końcowe ramię kąta \( \frac{\alpha}{2} \)

• \( \text{tg}{\frac{\alpha}{2}}= \frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \), gdy \( \sin{\alpha} \neq 0 \)
• \( \text{ctg}{\frac{\alpha}{2}}= \frac{1+\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \), gdy \( \sin{\alpha} \neq 0 \)

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

• \( \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \)
• \( \sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta} - \cos{\alpha}\sin{\beta} \)
• \( \cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} \)
• \( \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta} \)
• \( \text{tg}{(\alpha+\beta)}= \frac{\text{tg}{\alpha}+\text{tg}{\beta}}{1-\text{tg}{\alpha}\cdot\text{tg}{\beta}} \) , gdy \( \cos{\alpha}\cdot \cos{\beta} \neq 0 \) i \( \cos{(\alpha+\beta)} \neq 0 \)
• \( \text{ctg}{(\alpha+\beta)}= \frac{\text{ctg}{\alpha}\cdot \text{ctg}{\beta}-1}{\text{ctg}{\alpha}+\text{ctg}{\beta}} \), gdy \( \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta} \neq 0 \) i \( \sin{(\alpha+\beta)} \neq 0 \)
• \( \text{tg}{(\alpha-\beta)}= \frac{\text{tg}{\alpha}-\text{tg}{\beta}}{1+\text{tg}{\alpha}\cdot\text{tg}{\beta}} \) , gdy \( \cos{\alpha}\cdot \cos{\beta} \neq 0 \) i \( \cos{(\alpha-\beta)} \neq 0 \)
• \( \text{ctg}{(\alpha-\beta)}= \frac{\text{ctg}{\alpha}\cdot \text{ctg}{\beta}+1}{\text{ctg}{\alpha}-\text{ctg}{\beta}} \), gdy \( \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta} \neq 0 \) i \( \sin{(\alpha-\beta)} \neq 0 \)

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

• \( \sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} \)
• \( \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cdot \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} \)
• \( \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot \cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} \)
• \( \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot \sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} \)
• \( \text{tg}{\alpha}+\text{tg}{\beta}=\frac{\sin{(\alpha+\beta})}{\cos{\alpha}\cdot \cos{\beta}} \) , gdy \( \cos{\alpha}\cdot \cos{\beta} \neq 0 \)
• \( \text{ctg}{\alpha}+\text{ctg}{\beta}=\frac{\sin{(\alpha+\beta})}{\sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}} \) , gdy \( \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta} \neq 0 \)
• \( \text{tg}{\alpha}-\text{tg}{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta})}{\cos{\alpha}\cdot \cos{\beta}} \) , gdy \( \cos{\alpha}\cdot \cos{\beta} \neq 0 \)
• \( \text{ctg}{\alpha}-\text{ctg}{\beta}=\frac{\sin{(\beta-\alpha})}{\sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}} \) , gdy \( \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta} \neq 0 \)

Różnice kwadratów funkcji trygonometrycznych

• \( \sin^2{\alpha}-\sin^2{\beta}=\sin{(\alpha+\beta)}\cdot \sin{(\alpha-\beta)} \)
• \( \cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}=\cos{(\alpha+\beta)}\cdot \cos{(\alpha-\beta)} \)
• \( \cos^2{\alpha}-\cos^2{\beta}=\sin{(\alpha+\beta)}\cdot \sin{(\beta-\alpha)} \)

Iloczyny funkcji trygonometrycznych

• \( \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\left[ \cos{(\alpha+\beta)} + \cos{(\alpha-\beta)} \right] \)
• \( \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\left[ \cos{(\alpha-\beta)} - \cos{(\alpha+\beta)} \right] \)
• \( \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\left[ \cos{(\alpha+\beta)} + \sin{(\alpha-\beta)} \right] \)

Wzory redukcyjne

• \( \cos{\alpha} =\sin{(90^{\circ}-\alpha)} \)
• \( \sin{\alpha} =\cos{(90^{\circ}-\alpha)} \)
• \( \text{tg}\alpha =\text{ctg}(90^{\circ}-\alpha) \)
• \( \text{ctg}\alpha =\text{tg}(90^{\circ}-\alpha) \)

Przykład 1.

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta \( \alpha \).

Rozwiązanie

1. \( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{4} \)

   \( \cos{\alpha}=\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}=\sqrt{1-\frac{5}{16}}=\frac{\sqrt{11}}{4} \)

   \( \text{tg}\alpha=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{4}}{\frac{\sqrt{11}}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{55}}{11} \)

   \( \text{ctg}\alpha=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\frac{\frac{\sqrt{11}}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{55}}{5} \)

2. \( \text{tg} \alpha=\frac{1}{\sqrt{6}} \)

   \( \text{ctg} \alpha=\frac{\sqrt{6}}{1}=\sqrt{6} \)

   \( \text{tg} \alpha=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6} \)

   \( \text{ctg} \alpha=\frac{\sqrt{6}}{1}=\sqrt{6} \)

   \( \begin{cases} \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\text{tg}\alpha \\ \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1 \end{cases} \iff \begin{cases} \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\sqrt{6}}{6} \\ \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1 \end{cases} \)

   Z pierwszego równania mamy \( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{6} \cos{\alpha} \) i po podstawieniu do równania drugiego otrzymujemy:

   \( \left( \frac{\sqrt{6}}{6} \cos{\alpha} \right)^2+ \cos^2{\alpha}=1 \)

   \( \frac{6}{36}\cos^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}=1 \)

   \( \frac{42}{36}\cos^2{\alpha}=1 \)

   \( \cos^2{\alpha}=\frac{36}{42} \)

   Istnieją dwie liczby, dla których kwadrat liczb jest równy \( \frac{36}{42} \), to \( \frac{\sqrt{42}}{7} \) i \( - \frac{\sqrt{42}}{7} \). Ponieważ \( \cos{\alpha} \gt 0 \), więc \( \cos{\alpha} = \frac{\sqrt{42}}{7} \).

   Ponieważ \( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{6} \cos{\alpha} \), to \( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{\sqrt{42}}{7} \), stąd

   \( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{7}}{7} \)

Odpowiedź

1. \( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{4},\space \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{11}}{4}, \space \text{tg}\alpha= \frac{\sqrt{55}}{11}, \space \text{ctg}\alpha=\frac{\sqrt{55}}{5} \)
2. \( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{7}}{7},\space \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{42}}{7}, \space \text{tg}\alpha= \frac{\sqrt{6}}{6}, \space \text{ctg}\alpha=\sqrt{6} \)

Przykład 2.

Wiedząc, że \( \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2} \), oblicz \( \sin{\alpha}, \text{tg}\alpha,\text{ctg}\alpha \).

Rozwiązanie

Najpierw obliczymy \( \sin{\alpha} \) korzystając z jedynki trygonometrycznej:

\( \sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}=1 \Leftarrow \sin{\alpha}=\sqrt{1-\cos^{2}{\alpha}} \)

Podstawiając \( \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2} \) pod powyższy wzór otrzymujemy:

\( \sin{\alpha}=\sqrt{1-{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=\sqrt{1-{\frac{2}{4}}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Znając wartości \( \sin{\alpha} \) oraz \( \cos{\alpha} \) w prosty sposób możemy obliczyć \( \text{tg}\alpha \) i \( \text{ctg}\alpha \):

\( \text{tg}\alpha = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =1 \)

\( \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}=\frac{1}{1}=1 \)

Odpowiedź

\( \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \text{tg}\alpha=1 \), \( \text{ctg}\alpha=1 \)

Przykład 3.

Niech \( \alpha \in (0^\circ, 180^\circ) \). Jakie wartości przyjmują pozostałe funkcje trygonometryczne, gdy:

1. \( \sin{\alpha}=\frac{2}{5} \)
2. \( \cos{\alpha}=\frac{3}{7} \)
3. \( \text{tg}\alpha=4 \)
4. \( \text{tg}\alpha=-2 \)
5. \( \sin{\alpha}=1 \)

1. \( \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 \Rightarrow \frac{4}{25}+\cos^{2}\alpha=1 \)

   \( \cos^{2}\alpha=\frac{21}{25} \Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{21}}{5} \) lub \( \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{21}}{5} \)

   Ponieważ rozpatrujemy \( \alpha \in (0^\circ, 180^\circ) \) to \( \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{21}}{5} \)

   \( \text{tg}\alpha=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21} \)

   \( \text{ctg}\alpha=\frac{1}{\frac{2\sqrt{21}}{21}}=\frac{\sqrt{21}}{2} \)

2. \( \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 \Rightarrow \sin{\alpha}=\sqrt{1-\cos^2{\alpha}}=\sqrt{1-\frac{9}{47}} \)

   \( \sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{10}}{7} \) lub \( \sin{\alpha}=-\frac{2\sqrt{10}}{7} \)

   Ponieważ \(\sin{\alpha} \gt 0 \) dla \( \alpha \in (0^\circ, 180^\circ) \) to \( \sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{10}}{7} \)

   \( \text{tg}\alpha=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\frac{2\sqrt{10}}{7}}{\frac{3}{7}}=\frac{2\sqrt{10}}{3} \)

   \( \text{ctg}\alpha=\frac{1}{\frac{2\sqrt{10}}{3}}=\frac{3\sqrt{10}}{20} \)

3. Ponieważ \( \text{tg}\alpha \gt 0 \), więc \( \alpha \in (0^\circ, 90^\circ) \). Wtedy \( \sin{\alpha} \gt 0 \) i \( \cos{\alpha} \gt 0 \).

   \( \text{tg}\alpha=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=4 \Rightarrow \sin{\alpha}=4\cos{\alpha} \)

   Ponieważ \( \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 \), to:

   \( (4\cos{\alpha})^2+\cos^2{\alpha}=1 \)

   \( 16\cos^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1 \)

   \( 17\cos^2{\alpha}=1 \)

   \( \cos^2{\alpha}=\frac{1}{17} \)

   \( \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{17}}{17} \)

   \( \sin{\alpha}=4\cos{\alpha}=\frac{4\sqrt{17}}{17} \)

   \( \text{ctg}\alpha=\frac{1}{4} \)

4. Ponieważ \( \text{tg}\alpha \lt 0 \), więc \( \alpha \in (90^\circ, 180^\circ) \). Wtedy \( \sin{\alpha} \gt 0 \) i \( \cos{\alpha} \lt 0 \).

   \( \text{tg}\alpha=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=-2 \Rightarrow \sin{\alpha}=-2\cos{\alpha} \)

   Ponieważ \( \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 \), to:

   \( (-2\cos{\alpha})^2+\cos^2{\alpha}=1 \)

   \( 4\cos^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1 \)

   \( 5\cos^2{\alpha}=1 \)

   \( \cos^2{\alpha}=\frac{1}{5} \)

   \( \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{5}}{5} \)

   \( \sin{\alpha}=-2\cos{\alpha}=\frac{2\sqrt{5}}{5} \)

   \( \text{ctg}\alpha=-\frac{1}{2} \)

5. \( \sin{\alpha}=1 \).

   \( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}=1 \)

   \( 1+\cos^2{\alpha}=1 \)

   \( \cos^2{\alpha}=0 \)

   \( \text{tg}\alpha \) nie istnieje

   \( \text{ctg}\alpha \) nie istnieje