Różnica zbiorów

Różnica zbiórów \( A \setminus B \) jest to działanie, w wyniku którego z danych zbiorów A i B powstaje zbiór, którego elementami są elementy zbioru A nienależące do zbioru B. Działanie takie nazywamy również odejmowaniem mnogościowym zbiorów A i B i zapisujemy symbolicznie \( A \setminus B = \{ x:x \in A \land x \notin B \} \).

Innymi słowy, zbiór wynikowy zawiera tylko te elementy, które należą do zbioru A, ale nie należą do zbioru B.

Przykład 1.

Różnicą zbiorów \( A = \{1,5,9\} \) i \( B = \{2,5,6\} \) jest zbiór \( A \setminus B = \{ 1,9 \} \).

Przykład 2.

Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych mniejszych niż 10 \( A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) i niech B będzie zbiorem liczb parzystych mniejszych niż 10 \( B = \{0, 2, 4, 6, 8 \} \).

Rozwiązanie

Różnica A i B, oznaczana jako \( A \setminus B \), będzie zawierała tylko te liczby naturalne mniejsze niż 10, które nie są liczbami parzystymi mniejszymi niż 10. Zatem:

\( A \setminus B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \)

Przykład 3.

W pewnym sklepie sprzedawane są książki w języku polskim (zbiór A) oraz książki w języku angielskim (zbiór B). Oblicz różnicę \( A \setminus B \) oraz \( B \setminus A \).

Rozwiązanie

Dane:

A - zbiór książek w języku polskim,

B - zbiór książek w języku angielskim

Różnica \( A \setminus B \) oznacza zbiór elementów należących do A, ale nie należących do B. Zatem, różnicą \( A \setminus B \) będą książki, które są tylko w języku polskim i nie ma ich w języku angielskim. Możemy to zapisać jako:

\( A \setminus B \) = {książki w języku polskim, których nie ma w języku angielskim}

Różnica \( B \setminus A \)oznacza zbiór elementów należących do B, ale nie należących do A. Zatem, różnicą \( B \setminus A \) będą książki, które są tylko w języku angielskim i nie ma ich w języku polskim. Możemy to zapisać jako:

\( B \setminus A \) = {książki w języku angielskim, których nie ma w języku polskim}

Ostatecznie, obliczenie różnicy \( A \setminus B \) i \( B \setminus A \) zależy od konkretnych książek, jakie są dostępne w sklepie, ale ogólnie można stwierdzić, że \( A \setminus B \) będzie zawierać tylko książki w języku polskim, a \( B \setminus A \) tylko książki w języku angielskim, które nie mają odpowiedników w języku polskim.