Zadania z rachunku prawdopodobieństwa
Zadanie 1.
Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyrzucimy:
- dokładnie dwa razy reszkę - zdarzenie A
- co najmniej raz orła - zdarzenie B
- co najwyżej raz orła - zdarzenie C
Zobacz rozwiązanie
\( \Omega \) jest zbiorem wszystkich ciągów trójwyrazowych (x,y,z), których kolejne wyrazy odpowiadają wynikom kolejnych rzutów monetą. Ponieważ w każdym rzucie są możliwe dwa wyniki (orzeł lub reszka), więc \( \Omega \) składa się z \( 2^3 \) elementów czy 8. Wszystkie z nich sa jednakowo prawdopodobne.
Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elemenetarne (R,R,O), (R,O,R), (O,R,R) \( P(A)=\frac{3}{8} \)
Zdarzeniem przeciwnym do B jest B' polegające na niewyrzuceniu w trzech rzutach ani razu orła, więc zdarzeniu B' sprzyja tylko jedno zdarzenie elementarne (R,R,R) stąd
\( P(B')=\frac{1}{8}, \quad P(B)=1- P(B')=\frac{7}{8}; \)
Zdarzeniu C sprzyjają cztery zdarzenia elementarne
C=(R,R,R), (O,R,R), (R,O,R), (R,R,O)
P(C)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
Odpowiedź
\( \frac{3}{8}, \frac{7}{8}, \frac{1}{2} \)
Zadanie 2.
Wśród 20 radioodbiorników 16 jest dobrych a cztery są wadliwe. W sposób przypadkowy bierzemy 3 odbiorniki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 spośród wybranych są dobre.
Zobacz rozwiązanie
Zdarzeniami elementarnymi są tu różne trzyelementowe podzbiory ze zbioru 20 elementów.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa \( C^3_{20}= \left( \begin{matrix} 20 \\ 3 \end{matrix} \right)\).
Zdarzenie wzięcia co najmniej 2 sprawnych radioodbiorników można potraktować jako sumę zdarzeń \( A \cup B \).
A - zdarzenie: wzięto dokładnie 2 radioodbiorniki
B - zdarzenie: wzięto dokładnie 3 radioodbiorniki
Zdarzenie A sprzyja \( \left( \begin{matrix} 16 \\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \) zdarzeń elementarnych
Zdarzenie B sprzyja \( \left( \begin{matrix} 16 \\ 3 \end{matrix} \right) \) zdarzeń elementarnych
Ponieważ zdarzenie A i B się wykluczają, więc korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, mamy:
\( P(A \cup B)=P(A)+P(B)=\frac{ \left( \begin{matrix} 16 \\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right)} { \left( \begin{matrix} 20 \\ 3 \end{matrix} \right) } + \frac{ \left( \begin{matrix} 16 \\ 3 \end{matrix} \right) }{ \left( \begin{matrix} 16 \\ 3 \end{matrix} \right)} = \frac{480+560}{1140}=\frac{52}{57} \)
Zadanie 3.
W urnie jest n kul, z których 5 jest czarnych. Ile co najwyżej może być kul w urnie, aby przy losowaniu dwóch kul bez zwracania prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania czarnej kuli było większe niż \( \frac{1}{3} \).
Zobacz rozwiązanie
Zdarzeniem elementarnym jest każde wylosowanie dwóch kul ze zbioru n kul. Wszystkich zdarzeń elementarnych jest \( \left( \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix} \right) \).
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych równe
\( P=\frac{\left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix} \right)} =\frac{20}{n(n-1)} \), ponieważ \( p \gt \frac{1}{3} \) mamy \( \frac{20}{n(n-1)} \gt \frac{1}{3} \) czyli:
\( n^2-n-60 \lt 0 \), stąd \( n \in \left( \frac{1-\sqrt{241}}{2}, \frac{1+\sqrt{241}}{2} \right) \) i \( n \geq 5 \), mamy 5,6,7,8
Odpowiedź
W arnie może być co najmniej 8 kul.
Zadanie 4.
Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma oczek otrzymanych w dwóch rzutach jest równa 7 pod warunkiem, że za pierwszym razem wyrzucono dwa oczka.
Zobacz rozwiązanie
A - zdarzenie polegające na tym, że suma oczek otrzymanych w dwóch rzutach jest równa 7,
B - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym rzucie wypadną dwa oczka.
A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}
\( A \cap B = (2,5) \)
Wszystkich zdarzeń elementarnych \( 6^2=36 \)
\( P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{36}}{\frac{6}{36}}=\frac{1}{6} \)
Zadanie 5.
W urnie są 3 kule, 4 kule czarne i 5 kul białych. Wybieramy losowo 1 kulę i nie oglądając jej losujemy z pozostałych jedenastu dwie następne kule. Obliczyć prawdopodobieństwo że:
- obie kule z drugiego losowania sa białe,
- kule wylosowane za drugim razem są różnych kolorów
Zobacz rozwiązanie
Oznaczamy przez \( A_1, A_2, A_3 \) zdarzenie polegające na wylosowaniu za pierwszym razem odpowiednio: kuli czerwonej, czarnej, białej. Zdarzenie \( A_1, A_2, A_3 \) są rozłączne \( A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \Omega \)
Oznaczamy przez B zdarzenie polegające na wyciągnięciu w drugim losowaniu dwóch kul białych.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite
\( P(B)=P(B|A_1) \cdot P(A_1)+ P(B|A_2) \cdot P(A_2) +P(B|A_3) \cdot P(A_3) \)
\( P(B)=\frac{\left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix} \right)} \cdot \frac{3}{12}+ \frac{\left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix} \right)} \cdot \frac{4}{12}+ \frac{\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix} \right)} \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{33} \)
Oznaczamy przez C i D zdarzenia polegające na wyciągnięciu w drugim losowaniu odpowiednio dwóch kul czerwonych, lub dwóch kul czarnych.
\( P(C)=P(C|A_1) \cdot P(A_1)+ P(C|A_2) \cdot P(A_2) +P(C|A_3) \cdot P(A_3) \)
\( P(C)=\frac{\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix} \right)} \cdot \frac{3}{12}+ \frac{\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix} \right)} \cdot \frac{4}{12}+ \frac{\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix} \right)} \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{22} \)
\( P(D)=\frac{\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix} \right)} \cdot \frac{3}{12}+ \frac{\left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix} \right)} \cdot \frac{4}{12}+ \frac{\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix} \right)} \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{11} \)
Oznaczamy przez E zdarzenie polegające na tym, że za drugim razem wylosowaliśmy dwie kule różnych kolorów, stąd E' oznacza wylosowanie dwóch kul tego samego koloru.
\( E = B \cup C \cup D \) ponieważ zdarzenia B, C, D sa rozłączne więc
\( P(E)=1-P(E')=1- \left( \frac{5}{33} + \frac{1}{22} + \frac{1}{11} \right) = \frac{47}{66} \)
Odpowiedź
- \( \frac{5}{35} \)
- \( \frac{47}{66} \)
Zobacz Komentarze ( 0 )