Własności rachunku prawdopodobieństwa

Symbol \( \Omega \) oznacza zdarzenie pewne, a \( \varnothing \) - zdarzenie niemożliwe. Dla dowolnych zbiorów \( A,B \subset \Omega \) zachodzą zależności:

• Prawdopodobieństwo występowania dowolnego zdarzenia losowego \( A \) zawsze mieści się w przedziale \( \langle 0;1 \rangle \).

\[ 0 \leq A \leq 1 \]

• Prawdopodobieństwo występowania pewnego zdarzenia jest równe 1.

\[ P(\Omega ) = 1 \]

• Prawdopodobieństwo występowania zdarzenia niemożliwego jest równe 0.

\[ P(\varnothing ) = 0 \]

• Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A.

\[ P(A') = 1-P(A) \]

• Suma zdarzeń A i B to sytuacja, kiedy zaszło zaszło zdarzenie A lub zaszło zdarzenie B

\[ P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

• Różnica zdarzeń A i B to sytuacja, kiedy zaszło zaszło zdarzenie A, ale nie zaszło zdarzenie B

\[ P(A \setminus B) = P(A)-P(A\cap B) \]

• Iloczyn zdarzeń A i B to sytuacja, kiedy zaszło zaszło zdarzenie A i zaszło zdarzenie B

\[ P(A \cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) \]

• Prawdopodobieństwo zdarzenia A zawiera się w zdarzeniu B (czyli wyniki sprzyjające zdarzyniu A sprzyjają też zdarzeniu B)

\[ A \subset B = P(A) \leq P(B) \]

Przykład 1.

Prawdopodobieństwo wylosowania losu z główną wygraną w pewnej loterii wynosi 2%. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że się nie wylosuje głównej nagrody?

Rozwiązanie

Zdarzenie "niewylosowania głównej nagrody" to zdarzenie przeciwne do zdarzenia "wylosowania głównej nagrody", stąd niewylosowanie głównej nagrody ma prawdopodobieństwo: \( P(A') = 1-P(A) = 1-2%=98% \).

Przykład 2.

Prawdopodobieństwo wylosowania z pewnego zbioru liczb liczby podzielnej przez \( 3 \) jest równe \( 0,4 \), a podzielnej przez \( 6 \) wynosi \( 0,3 \). Jakie jest prawdopodobieństwo \( P \) wylosowania liczby podzielnej przez 6 lub przez 15.

Rozwiązanie

Każda liczba podzielna przez \( 6 \) lub przez \( 15 \) jest podzielna przez \( 3 \). Prawdopodobieństwo to można oszacować z dołu i z góry: \( 0,3 \leq P \leq 0,4 \).