Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \( A \) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \( B \), nazywamy liczbę:

\[ P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \text{ gdzie } P(B) \gt 0 \]

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego wynika pożyteczny w zastosowaniu wzór, który nazywamy twierdzeniem o prawdopodobieństwie iloczynu:

Dla dowolnej pary zdarzeń \( A, B \subset \Omega \) takich, że \( P(B) \gt 0 \) zachodzi \( P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) \).

Przykład 1.

Rozważmy jednoczesny rzut dwiema sześciościennymi kostkami: białą i czarną. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że łącznie na obu kostkach wypadnie 5 oczek, jeśli wiadomo, że na białej kostce wypadną 4 oczka?

Rozwiązanie

Niech A oznacza zdarzenie "wypadnie łącznie 5 oczek", a B "na białej kostce wypadły 4 oczka". Szukane prawdopodobieństwo P(A|B) wynosi:

\( P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}= \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4}{36}}=\frac{1}{4} \)

Przykład 2.

Oblicz prawdopodobieństwo, że w dwukrotnym rzucie kostką do gry uzyskamy sumę oczek nie większą niż 6, przy założeniu, że za pierwszym razem wyrzuciliśmy parzystą liczbę oczek.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:

Zdarzenie A - w dwukrotnym rzucie kostką suma oczek jest nie większa niż 6

Zdarzenie B - za pierwszym razem wyrzuciliśmy parzystą liczbę oczek

Zdarzenia sprzyjające \( A \cap B \) to: {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2}, więc \( P(B)=\frac{1}{2} \), \( P(A \cap B)=\frac{6}{36} \), bo wszystkich par jest 36, ostatecznie:

\( P(A|B)= \frac{\frac{6}{36}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3} \)