Niezależność zdarzeń

Jeśli zdarzenia \( A \text{ i } B \) są niezależne, to prawdopodobieństwo, że zdarzenia te zajdą łącznie, jest iloczynem prawdopodobieństw.

\[ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \]

Jeśli dwa zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne.

Przykład 1.

Rzucamy równocześnie monetą i kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym wypadnie orzeł i liczba większa od dwóch?

Rozwiązanie

Wynik rzutu monetą i kostką są od siebie niezależne.

Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła jest równe \( P(A)=\frac{1}{2} \).

Prawdopodobieństwo, że na kostce wypadnie liczba większa od 2, czyli jedna z liczb {3,4,5,6} i jest równe \( P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \).

Prawdopodobieństwo, że oba te zdarzenia zajdą łącznie (ale niezależnie od siebie) wynosi \( P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3} \).

Przykład 2.

Koszykarz wykonuje rzuty osobiste z prawdopodobieństwem trafienia 75%. Jakie jest prawdopodobieństwo (w zaokrąglenia do pełnych procent), że w serii trzech rzutach:

1. trafi trzy razy
2. dwa razy nie trafi, ale za trzecim razem trafi

Rozwiązanie

1. Skoro koszykarz wykonuje trzy rzuty, to mamy do czynienia ze zdarzeniami niezależnymi, a prawdopodobieństwo, że trafi trzy razy jest równe iloczynowi prawdopodobieństw i za każdym razem wynosi \( P(A)=\frac{75}{100} \), tak więc: \( P(A) \cdot P(A) \cdot P(A) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{64} = 0,421875= 42 \% \)
2. Skoro koszykarz wykonuje trzy rzuty, to mamy do czynienia ze zdarzeniami niezależnymi, a wydarzenie, że nie trafi jest wydarzeniem odwrotnym do trafienia, tak więc \( P(A')=1- P(A)=1-75%=25% \), tak jak w naszym przypadku powyżej wydarzenie, że koszykarz dwa razy nie trafi, ale za trzecim razem trafi jest równe iloczynowy poszczegónych wydarzeń, czyli \( P(A') \cdot P(A') \cdot P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{64} = 0,046875= 5 \% \)