Zadania z kombinatoryki
Zadanie 1.
Zapisz w prostszej postaci:
- \( \frac{14!}{13 \cdot 14} \),
- \( \frac{(n+1)!}{n!} \),
- \( \frac{(n-3)!}{(n-4)!} \)
Zobacz rozwiązanie
- \( \frac{14!}{13 \cdot 14}= \frac{13! \cdot 14}{13 \cdot 14}=\frac{13!}{13}= \frac{12! \cdot 13}{13}=12! \)
- \( \frac{(n+1)!}{n!}= \frac{n!(n+1)}{n!}=n+1 \)
- \( \frac{(n-3)!}{(n-4)!}=\frac{(n-4)!(n-3)}{(n-4)!}=n-3 \)
Zadanie 2.
Ile liczb większych od 4000 i zapisanych za pomocą różnych cyfr można utworzyć z cyfr 1,2,3,4.
Zobacz rozwiązanie
Ponieważ szukane liczby mają być większe od 4000, to na pierwszym miejscu może znajdować się tylko cyfra 4. Na pozostałych trzech miejscach jest dowolna permutacja cyfr (1,2,3), ponieważ \( P_3=3!=6 \).
Odpowiedź
Takich liczb jest 6.
Zadanie 3.
Liczba permutacji z n+2 elementów jest 20 razy większa od liczby permutacji z n elementów. Oblicz n.
Zobacz rozwiązanie
(n+2)!=20n!
(n+2)(n+1)n!=20n!, stąd
(n+2)(n+1)=20, \( n^2+3n-18=0 \)
\( \Delta=9+72=81 \)
\( n_1=-6 \lor n_2=3 \), ponieważ \( n \in \Bbb{N} \), więc \( n=3 \)
Odpowiedź
n=3
Zadanie 4.
Oblicz \( \left( \begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix} \right) \)
Zobacz rozwiązanie
\( \left( \begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix} \right) = \frac{8!}{7!1!}=\frac{7! \cdot 8}{7!}=8 \)
\( \left( \begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix} \right) = \frac{10!}{0!10!}=1, \quad 0!=1 \)
\( \left( \begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix} \right) = \frac{n!}{(n-1)!(n-n+1)!}=\frac{n!}{(n-1)! \cdot 1!}=\frac{(n-1)n!}{(n-1)!}=n \)
Zadanie 5.
Oblicz n jeśli \( \left( \begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix} \right) = 35 \).
Zobacz rozwiązanie
Przekształcając \( \left( \begin{matrix} n \\ 4 \end{matrix} \right) \) otrzymamy \( \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} = 35 \),
\( (n^2-3n)(n^2-3n+2)=24 \cdot 35 \)
Podstawiając \( n^2-3n=t \) otrzymujemy \( t(t+2)=840 \)
\( t^2+2t-840=0 \)
\( t_1=-30 \lor t_2=28 \)
\( n^2-3n=-30 \) sprzeczne, \( n^2-3n-28=0 \), stąd \( n=-4 \) lub \( n=7 \), ale \( n \in \Bbb{N} \) stąd \( n=7 \)
Zadanie 6.
Ile dzielników ma liczba \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \)?
Zobacz rozwiązanie
Ponieważ czynniki tego iloczynu są liczbami względnie pierwszymi więc dzielników będzie tyle ile jest podzbiorów w zbiorze 5 elementowym.
Podzbiorów jest \( 2^5 \) należy odrzucić zbiór pusty, ale trzeba dodać 1, która jest również dzielnikiem tej liczby.
Odpowiedź
Wszystkich dzielników tej liczby jest 32.
Zadanie 7.
Oblicz współczynnik jednomianu \( a^3b^7 \) w rozwinięciu \( (a-b)^{10} \).
Zobacz rozwiązanie
Korzystając ze wzoru Newtona współczynnik tej jest postaci:
\( \left( \begin{matrix} 10 \\ 7 \end{matrix} \right)a^3(-b)^7=-\left( \begin{matrix} 10 \\ 7 \end{matrix} \right)a^3b^7 \), zatem \( \left( \begin{matrix} 10 \\ 7 \end{matrix} \right)=\frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{7! \cdot 3!}=120 \)
Odpowiedź
Współczynnik ten wynosi 120.
Zobacz Komentarze ( 0 )