Wariacja z powtórzeniami

Wariacją z powtórzeniami jest każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z elementów n-elementowego zbioru A. Liczbę wszystkich takich wariacji określa się wzorem:

\[ W^k_n = n^k \]

Cechy charakteryzujące wariacje z powtórzeniami:

• uporządkowanie wyrazów w ciągu jest istotne - oznacza to, że dwa ciągi zawierające te same elementy zbioru A ale w różnym porządku są dwiema różnymi wariacjami.
• elementy w ciągu mogą się powtarzać - oznacza to, że w tym schemacie kombinatorycznym liczba wyrazów w tworzonych ciągach może przekraczać liczność zbioru A (k może być większe od n).

Przykład 1

Ile można zapisać liczb trzycyfrowych (niekoniecznie różnocyfrowych), mając do dyspozycji cyfry 5,6,7,8,9?

Rozwiązanie

Na pierwszym miejscu możemy zapisać jedną z pięciu podanych cyfr, na drugim i trzecim miejscu również mamy pięć możliwości. Z tego wynika, że \( W^3_5 = 5^3=125 \) możliwości.

Przykład 2

Na świadectwie szkolnym wypisane są oceny z 13 przedmiotów. Z każdego przedmiotu można dostać ocenę od niedostatecznej do celującej, więc mamy jedną z sześciu ocen. Oblicz ile jest możliwych różnych układów ocen?

Rozwiązanie

Ciąg ocen na świadectwie jest trzynastoelementową wariacją powtórzeń ze zbioru sześcioelementowego.

\( W^{13}_6 = 6^13= 13\space 060\space 694\space 016 \)

Przykład 3

Rzucamy sześciokrotnie monetą. Ile jest możliwych wyników?

Rozwiązanie

Wynikiem rzutu jest sześcioelementową wariacją powtórzeń ze zbioru dwuelementowego.

\( W^6_2 = 2^6= 64 \)