Kombinacja

Kombinacja k-elementowa ze zbioru n-elementowego to każdy k-elementowy podzbiór zbioru n-elementowego, gdzie \( n, \space k \in \Bbb{N} \text{ i } k \lt n \).

Liczbę k oblicza się za pomocą Symbolą Newtona:

\[ C^k_n=\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Przykład 1

Ile jest możliwości wyboru 3-elementowych podzbiorów z 6-elementowego zbioru?

Rozwiązanie

\( \left( \begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix} \right) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1\cdot 2 \cdot 3(1\cdot 2 \cdot 3)} = \frac{ 4 \cdot 5}{1}=20 \)

Przykład 2

Na ile sposobów można z grupy 18 zawodników wybrać 11-osobową drużynę piłkarską?

Rozwiązanie

\( \left( \begin{matrix} 18 \\ 11 \end{matrix} \right) = \frac{18!}{11!(18-11)!} = \frac{18!}{11!\cdot 7!} = \frac{12\cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} = 15912 \)

Przykład 3

Ile jest możliwości wypełnienia kuponu totolotka?

Rozwiązanie

Kupon totolotka to skreślenie 6 liczb z spośród 49, tzn. wybraniu kombinacji 6-elementowego podzbioru z 49 elemenetowego zbioru.

\( \left( \begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix} \right) = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!\cdot 43!} = \frac{44\cdot 45 \cdot 46 \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = 13\space 983 \space 816 \)

Z powyższych obliczeń wyniki, że aby być pewnym wygranym, należałoby wypełnić bliski 14 milionów kuponów.