Wzory na pole trójkąta

Pole trójkąta wyrażamy następującymi wzorami:

Wzór 1

\[ P_{\triangle}=\frac{1}{2}ah \]

gdzie:

a - długość boku trójkąta

h - długość wysokości opadająca na bok a

Wzór 2

\[ P_{\triangle}=\frac{1}{2}ab \sin{\alpha} \]

gdzie:

a,b - długości boków trójkąta

\( \alpha \) - kąt pomiędzy bokami a i b

Wzór 3

\[ P_{\triangle}=\frac{1}{4R}abc \]

gdzie:

a,b,c - długości boków trójkąta

R - promień trójkąta opisanego na tym trójkącie

Wzór 4

\[ P_{\triangle}=2R^{2} \sin{\alpha} \sin{\beta} \sin{\gamma} \]

gdzie:

\( \alpha , \beta , \gamma \) - kąty wewnętrzne trójkąta

R - promień trójkąta opisanego na tym trójkącie

Wzór 5

\[ P_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

gdzie:

a,b,c - długości boków trójkąta

p - połowa dłogości obwodu \( p=\frac{a+b+c}{2} \)

Powyższy wzór znany jest również jako wzór Herona. Jeśli wierzchołki trójkąta są punktami o współrzędnych \( (x_1,x_2) \), \( (y_1,y_2) \) oraz \( (z_1,z_2) \) to pole trójkąta wyznaczamy ze wzoru:

\[ P=\frac{1}{2}|[(y_1-x_1)(z_2-x_2)-(y_2-x_2)(z_1-x_1)]| \]

Wzór 6

\[ P_{\triangle}=r \cdot \frac{a+b+c}{2} \]

gdzie:

a,b,c - długości boków trójkąta

r - długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt \)