Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że jeśli trójkąt jest prostokatny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

\[ a^2+b^2=c^2 \]

W interpretacji geometrycznej mówimy o sumie pól kwadratowych zbudowanych na przyprostokątnych, która równa jest polu kwadrau zbudowanego na przeciwprostokątnej:

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa mówi, że jeżeli kwadrat długości jednego boku trójkąta równy jest sumie kwadratów długości boków pozostałych, to trójkąt jest prostokątny.

Ponadto, jeżeli kwadrat długości najdłuższego boku trójkąta jest mniejszy od sumy kwadratów długości dwóch pozostałych boków. Jeżeli natomiast kwadrat długości najdłuższego boku trójkąta jest większy niż suma kwadratów długości dwóch pozostałych boków, to trójkąt ten jest rozwartokątny.

Prawdopodobnie twierdzenie to było wykorzystywany w starożytności do wyznaczania w terenie kątów prostych. Aby uzyskać kąt prosty, wystarczyło narysować na przykład trójkąt o bokach 3,4 i 5, zwany trójkątem egipskim, o którym wiedziano, że jest prostokątny.

Przykład 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej poniższego trójkąta prostokątnego.

Rozwiązanie

Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej c, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

\[ 6^2+8^2=c^2 \]

\( 36+64=c^2 \)

\( c^2=100 \)

\( c=10 \)

Odpowiedź

Długość przeciwprostokątnej wynosi 10.

Przykład 2.

Oblicz pole oraz obwód trapezu przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie

Pole obliczamy korzystając ze wzoru na pole trapezu:

\( P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(15+20)\cdot 4}{2}=\frac{35 \cdot 4}{2}=70 \)

Aby obliczyć obwód trapezu musimy wyznaczyć długość x jednego z ramion trapezu. Kreśląc wysokość trapezu, otrzymujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 i 5 oraz przeciwprostokątnej x.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

\( 4^2+5^2=x^2 \)

\( 16+25=x^2 \)

\( x^2=41 \)

\( x=\sqrt{41} \)

Obwód trapezu jest więc równy:

\( Obw=20+4+15+\sqrt{41}=39+\sqrt{41} \)

Rozwiązanie:

Pole trapezu wynosi \( 70[j^2] \), a obwód \( 39+\sqrt{41} [j] \)

Przykład 3.

Sprawdź, czy trójkąt o bokach \( 3 \sqrt{3}, \space 3 \text{ i } 6 \) jest trójkątem prostokątnym.

Rozwiązanie

Chcąc sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny należy zbadać prawdziwa jest równość:

\( (3 \sqrt{3})^2+3^2=6^2 \)

\( 9 \cdot 3+9=36 \)

\( 27+9=36 \)

\( 36=36 \)

Ponieważ powyższa równość jest prawdziwa, więc dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym.