Wzajemne położenie dwóch okręgów

Okręgi w położeniu zewnętrznym (rozłączne zewnętrznie)

\[ O_{1}O_{2} \gt r_1 + r_2 \]

Okręgi zewnętrznie styczne

\[ O_{1}O_{2} = r_1 + r_2 \]

Okręgi przecinające się

\[ r_1 - r_2 \lt O_{1}O_{2} \lt r_1 + r_2 \]

Okręgi wewnętrznie styczne

\[ O_{1}O_{2} = |r_1 - r_2| \]

Okręgi rozłączne wewnętrzne

\[ O_{1}O_{2} lt |r_1 - r_2| \]

Okręgi współśrodkowe

\[ O_{1}O_{2} = 0 \]

Przykład 1.

W prostokąt ABCD wpisano koła o promieniu R (tak jak na rysunku poniżej). Wyznacz długość boków prostokąta.

Rozwiązanie

Łączymy środki okręgów ze sobą i z punktami styczności z bokami prostokąta. W ten sposób możemy zaobserwować, że połączone środki okręgów tworzą nam trójkąt równoboczny o długości boku równym 2R i wysokości h. Możemy również zauważyć, że jeden bok prostokąta ma długość wynoszącą 4R, natomiast drugi ma długość wynoszącą R+h+R.

Korzystając ze wzoru Pitagorasa możemy obliczyć, że wysokość trójkąta wynosi \( h=\sqrt{3}R \).

Boki prostokąta mają więc długoość \( 4R \) i \( h=(2+\sqrt{3})R \).