Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Jeżeli przez punkt P poprowadzimy styczną do tego okręgu w punkcie C i sieczną przecinającą ten okrąg w punktach A i B, to:

\( |PA| \cdot |PB|=|PC|^2=|OP|^2-r^2 \)

\( |OP|^2-r^2 \) nazywamy potęgą punktu P względem okręgu o \( (O,r) \).

Przykład 1.

Przez punkt A poprowadzono styczną do okręgu o promieniu 4cm. Odległość punktu A od środka okręgu wynosi 9cm. Znajdź odległość punktu A od punktu styczności.

Rozwiązanie:

Długość odcinka |AB| obliczamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABO:

\( |AB|^2+|BO|^2=|AO|^2 \)

Podstawiając dane otrzymujemy:

\( |AB|^2+4^2=9^2 \)

\( |AB|^2=9^2-4^2=81-16=65 \)

\( |AB|=\sqrt{65} \)

Odpowiedź:

Odległość punktu A od punktu styczności prostej do okręgu jest równa \( \sqrt{65} \)cm.