Okrąg wpisany w czworokąt

Okrąg możemy wpisać w czworokąt wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.

\[ |AB|+|CD|=|BC|+|AD| \]

Wzór na pole czworokąta opisanego na okręgu o promieniu r:

\[ P=\frac{1}{2}r \cdot \cdot (a+b+c+d) \]

Przykład 1

W rombie o boku 8cm kąt ostry ma miarę \( 45^{\circ} \). Z rombu wycięto koło wyznaczone przez okrąg wpisany w ten romb. Ile wynosi pole pozostałej części rombu?

Rozwiązanie:

W celu obliczenia szukanego pola należy od pola rombu odjąć pole koła. Dla obliczenia pola rombu wystarczy określić długość h jego wysokości. Ponieważ bok rombu ma długość 8 cm, a jego kąt ostry ma miarę \( 45^{\circ} \), możemy wyznaczyć h w następujący sposób:

\( 8=h \sqrt{2} \)

\( h=\frac{8}{\sqrt{2}} \)

\( h=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4 \sqrt{2} \)

Stąd pole rombu wynosi:

\( P_{1} = 8 \cdot 4 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2} \)

Do obliczenia pola koła wystarczy znać długość jego promienia, a jest ona dwukrotnie mniejsza niż długość wysokości rombu.

\( r=\frac{4\sqrt{2}}{2} \)

Pole koła jest więc równe:

\( P_{\circ}=\pi r^2 \)

\( P_{\circ}=\pi \cdot \left( \frac{4\sqrt{2}}{2} \right) = \pi \cdot \frac{16 \cdot 2}{4} = 8 \cdot \pi \)

Szukane pole jest różnicą pól \( P_1 \) i \( P_{\circ} \):

\( P=P_{1} - P_{\circ} \)

\( P= 32 \sqrt{2} - 8 \cdot \pi [cm^2] \)