Kąt środkowy i kąt wpisany w okręgu

Kątem środkowym w danym okręgu nazywamy każdy kąt, którego wierzchołkiem jest środek tego okręgu.

Kąt wpisany w okrąg to każdy kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a każde ramie ma prócz wierzchołka jeszcze jeden wspólny punkt z okręgiem.

Twierdzenie o kątach wpisanych

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.

Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku

Kąt środkowy jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku danego okręgu, co kąt środkowy.

Z powyższego twierdzenia wynika również fakt, że kąt wpisany oparty na półokręgu (średnicy) jest kątem prostym.

Przykład 1.

Oblicz miary kątów \( \alpha \) i \( \beta \) wykorzystując własności kąta środkowego i wpisanego w okrąg.

Rozwiązanie:

W danym przykładzie kąt \( \alpha \) i \( \beta \) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, więc ich miary są równe.

Szukane kąty możemy wyznaczyć na dwa sposoby:

1. Miara kąta wpisane \( \angle{ABC} \) jest połową miary kąta środkowego \( \angle{AOC} \), a ponieważ \( \angle{AOC}=180^{\circ} \), to \( \angle{ABC}=90^{\circ} \), stąd \( \alpha=\beta=90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ} \).
2. Kąt \( \beta \) możemy obliczyć również z miary kątów w trójkącie \( \triangle{ABD} \), ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi \( 180^{\circ} \), stąd \( \beta=180^{\circ}-50^{\circ}-65^{\circ}-40^{\circ} \), \( \beta=\alpha=25^{\circ} \).

Odpowiedź:

\( \alpha=\beta=25^{\circ} \)

Przykład 2.

Na rysunku zaznaczono kąt środkowy równy \( 220^{\circ} \)oraz kąt prosty. Jaka jest miara kąta \( \alpha \)?

Rozwiązanie:

Ponieważ kąt \( \alpha \) i \( \angle{DAC} \) oparte są na tym samym łuku, więc ich miary są równe.

Kąt \( \angle{AOB} \) wynosi \( 360^{\circ}-220^{\circ}=140^{\circ} \).

Kąt wpisany \( \angle{ADB} \) oraz \( \angle{AOB} \) oparte są na tym samym łuku, stąd miara kąta \( \angle{ADB}=\frac{140^{\circ}}{2}=70^{\circ} \).

Poniważ mamy dany kąt prosty \( \angle{AFD} \), tak więc możemy obliczyć miarę kąta \( \angle{DAC} \) z \( \triangle{AFD} \).

\( \angle{DAC}=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}=\alpha \)