Równoległobok

Równoległobok to czworokąt, który ma wszyskie boki równej długości. Przekątne są prostopadłe, dzielą się na połowy.

Jeśli znasz jeden kąt równoległoboku, to obliczysz wszystkie pozostałe. Dwa kąty leżące przy tym samym boku zawsze mają w sumie \( 180^{\circ} \).

\[ \alpha + \beta = 180^{\circ} \]

Równoległobok o bokach \( a \) i \( b \), wysokości \( h \) oraz przekątnych \( d_1 \text{ i } d_2 \).

Obwód równoległoboku obliczamy ze wzoru:

\[ Ob=2a+2b \]

Pole równoległoboku możemy obliczyć ze wzorów:

\[ P=a \cdot h \]

\[ P=a^2 \cdot \sin{\alpha} \]

\[ P=\frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin{\gamma} \]

\( \alpha \) - jest kątem między bokami \( a \text{ i } b \)

\( \gamma \) - jest kątem między przekątnymi \( d_1 \text{ oraz } d_2 \)

Przykład 1.

Boki równoległoboku mają długość a=8 i b=10. Wysokość opuszczona na boku b ma długość 5. Jakie jest pole równoległoboku?

Rozwiązanie

Pole równoległoboku to iloczyn długości boku (uznanego za podstawę) i wysokości opuszczonej na tę właśnie podstawę. W naszym wypadku to podstawa b równa 10 oraz wysokość na nią upuszczona równa 5. Podstawiając pod wzór otrzymujemy: \( P=a \cdot h = 10 \cdot 5 = 50 \)

Przykład 2.

Przekątna AC równoległoboku ABCD ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt \( 60^{\circ} \), a druga przekątna, BD, tworzy z nim kąt prosty. Oblicz pole równoległoboku.

Rozwiązanie

Na sporządzonym rysunku możemy zaobserwować, że trójkąt prostokątny ABO o kącie BAO = \( 60^{\circ} \), przeciwprostokątnej AO długości 6 (połowa przekątnej AC) i drugiej przeciwprostokątnej (BO) stanowiącej połowę przekątnej BD i zarazem połowę wysokości równoległoboku.

Oznaczamy \( |AB|=a \), \( |AO|=c=6 \) oraz \( |BO|=\frac{h}{2}=a \)

Zapisujemy definicję cosinusa kąta \( BAO:\cos{60^{\circ}} \), skąd \( a=6\cos{60^{\circ}} \), a pamiętając, że \( \cos{60^{\circ}}=0,5 \), znajdując \( a=3 \).

Teraz zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ABO:

\( a^2+\left( \frac{h}{2} \right)^2 = c^2 \), skąd \( h=2 \sqrt{c^2-a^2} \), a po podstawieniu:

\( h=2 \sqrt{6^2-3^2}=2 \sqrt{27}=6 \sqrt{3} \)

Pole równoległoboku wynosi:

\( P=a \cdot h = 3 \cdot 6 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3} \)