Pole i obwód czworokąta

Obwód czworokąta obliczamy ze wzoru:

\[ Ob=a+b+c+d \]

W celu obliczenia pola czworokąta należy podzielić czworokąt na dwa trójkąty, a następnie zsumować pola trójkątów.

Innym sposobem jest obliczenie pola czworokąta znając długości ich przekątnych oraz kąta między nimi.

\[ P=\frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin{\alpha} \]

Przykład 1.

Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne (odpowiednio A,B,C,D) mają miary \( 90^{\circ},75^{\circ},60^{\circ},135^{\circ} \), a boki AB i AD mają długość 3cm.

Rozwiązanie:

Prowadząc przekątną BD możemy zaobserwować, że podzieliliśmy czworokąt na dwa trójkąty, gdzie \( \triangle{ABD} \) jest trójkątem równoramienny o kątach \( 90^{\circ}, 45^{\circ}, 45^{\circ} \)

Przekątna BD jest równa \( 3 \sqrt{2} \)

Kąt \( 75^{\circ} \) przy wierzchołku B jest sumą kąta ABD, który ma \( 45^{\circ} \) i kąta CBD, który w takim razie ma \( 30^{\circ} \). Kąt \( 135^{\circ} \) przy wierzchołku D jest sumą kąta ADB, który ma \( 45^{\circ} \), i kąta BDC, który w takim razie ma \( 90^{\circ} \).

Z powyższego wynika, że miary kątów \( \triangle{BDC} \) mają odpowiednio \( 30^{\circ}, 90^{\circ}, 60^{\circ} \).

Z definicji tangensa możemy obliczyć długość boku |DC|.

\( \text{tg} 60^{\circ} = \frac{|BD|}{|DC|} \)

\( \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{|DC|} \)

\( |DC| = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6} \)

Mając powyższe dane możemy obliczyć pole czworokąta ABCD, poprzez zsumowanie pól trójkątów ABD i BDC.

\( P_{\triangle{ABD}}=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3= \frac{9}{2} \)

\( P_{\triangle{BDC}}=\frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}= 3 \sqrt{3} \)

\( P_{ABCD}= P_{\triangle{ABD}}+P_{\triangle{BDC}}=\frac{9}{2}+3 \sqrt{3} \)

Odpowiedź

Pole czworokąta ABCD wynosi \( \frac{9}{2}+3 \sqrt{3} \)