Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie \( S=(a,b) \) i promieniu \( r \gt 0 \) ma postać:

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]

Równanie okręgu możemy również zapisać: \( x^2+y^2-2ax-2by+c=0 \), gdzie \( c=a^2+b^2-r^2 \).

Równanie okręgu, gdy S=(0,0) przyjmuje postać: \( x^2+y^2=r^2 \)

Przykład 1.

Punkty \( A=(-1;0) \), \( B=(3;0) \) i \( C=(2,2) \) są wierzchołkami trójkąta. Napisz równanie okregu opisanego na trójkącie \( ABC \).

Rozwiązanie:

Ponieważ \( |AS|=|BS|=|CS| \), gdzie \( S=(x;y) \), otrzymujemy układ równań:

\( \begin{cases}(x+1)^2+y^2=r^2 \\ (x-3)^2+y^2=r^2 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=r^2 \end{cases} \)

Korzystając z metody podstawienia (podstawiamy pierwsze równanie za \( r^2 \) w drugim), otrzymujemy:

\( \begin{cases}(x+1)^2+y^2=r^2 \\ (x-3)^2+y^2=(x+1)^2+y^2 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=r^2 \end{cases} \)

Obliczamy drugie równanie wykorzystując wzory skróconego mnożenia oraz redukując wyrazy podobne:

\( \begin{cases}(x+1)^2+y^2=r^2 \\ x^2-6x+9=x^2+2x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=r^2 \end{cases} \)

Po redukcji otrzymujemy:

\( \begin{cases}(x+1)^2+y^2=r^2 \\ x=1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=r^2 \end{cases} \)

Podstawiając do pozostałych równań \( x=1 \), otrzymujemy:

\( \begin{cases} 4+y^2=r^2 \\ x=1 \\ 1+(y-2)^2=r^2 \end{cases} \)

Ponownie korzystamy z metody podstawienie, tym razem do równania trzego podstawiamy pierwsze:

\( \begin{cases} 4+y^2=r^2 \\ x=1 \\ 1+(y-2)^2=4+y^2 \end{cases} \)

Z trzeciego równania wykorzystując wzory skórconego mnożenia oraz redukując wyrazy podobne wyznaczamy y:

\( \begin{cases} 4+y^2=r^2 \\ x=1 \\ y=\frac{1}{4} \end{cases} \)

Do pierwszego równania podstawiamy y, aby obliczyć r

\( \begin{cases} r=\frac{sqrt{65}}{4} \\ x=1 \\ y=\frac{1}{4} \end{cases} \)

Odpowiedź:

Szukany okrąg ma środek w punkcie \( S=(1;\frac{1}{4}) \) i promień długości \( r=\frac{sqrt{65}}{4} \), więc równanie okręgu ma postać: \( (x-1)^2+(y-\frac{1}{4})^2=\frac{65}{16} \)