Odległość punktu od prostej

Odległość punktu \( P=(x_0,y_0) \) od prostej \( l \) o równaniu \( Ax+By+C=0 \) obliczamy ze wzoru:

\[ d(P,l)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

Przykład 1.

Jaka jest odległość punktu \( P=(4,2) \) od prostej o równaniu y=2x-1?

Rozwiązanie:

Aby skorzystać z podanego wzoru, należy równanie w postaci kierunkowej przekształcić na postać ogólną:

\( -2x+y+1=0 \), po podstawieniu pod wzór na odległość punktu od prostej otrzymujemy:

\( d=\frac{|-2\cdot 4+1\cdot 2 +1|}{\sqrt{(-2)^2+(1)^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{5} \)

Przykład 2.

Dana jest prosta \( x-2y+6=0 \) i punkty \( A=(-2,-2) \) i \( B=(2,2) \). Wyznacz współrzędne punkru C należącego do prostej, który jest równo oddalony od punktów \( A \text{ i } B \).

Rozwiązanie:

Korzystamy z faktu, że punkt C jest punktem prostej \( x-2y+6=0 \).

Przekształcając równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej, dostajemy \( y=\frac{1}{2}x+3 \), stąd \( C=\left( x;\frac{1}{2}x+3 \right) \).

Następnie obliczamy kwadraty odległości:

\( |AC|^2=(x+2)^2+(\frac{1}{2}x+3+2)^2 \)

\( |BC|^2=(x-2)^2+(\frac{1}{2}x+3-2)^2 \)

Ponieważ te kwadraty odległości mają być równe, możemy je porównać stronami:

\( (x+2)^2+(\frac{1}{2}x+3+2)^2=|BC|^2=(x-2)^2+(\frac{1}{2}x+3-2)^2 \)

\( x^2+4x+4+\frac{1}{4}x^2+5x+25=x^2-4x+4+\frac{1}{4}x^2+x+1 \)

\( x=-2 \)

Czyli współrzędne szukanego punktu to:

\( C=\left( -2;\frac{1}{2} \cdot (-2)+3 \right)=(-2;2) \)