Własności funkcji

Funkcja jest monotoniczna, jeżeli jest rosnąca, nierosnąca, malejąca, niemalejąca lub stała.

Funkcja jest rosnąca w zbiorze D, jeżeli wraz ze wzrostem jej argumentów rosną jej wartości \( \underset{x_1,x_2 \in D}{\Large\forall} x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \lt f(x_2) \)

Funkcja jest malejąca w zbiorze D, jeżeli wraz ze wzrostem jej argumentów maleją jej wartości \( \underset{x_1,x_2 \in D}{\Large\forall} x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \gt f(x_2) \)

Funkcja jest stała w zbiorze D jeżeli dla wszystkich argumentów przyjmuje stałą, taką samą wartość \( \underset{x_1,x_2 \in D}{\Large\forall} x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) = f(x_2) \)

Funkcja jest nierosnąca w zbiorze D, jeżeli wraz ze wzrostem jej argumentów jej wartości rosną lub są stałe

Funkcja jest niemalejąca w zbiorze D, jeżeli wraz ze wzrostem jej argumentów jej wartości maleją lub są stałe

Dwie funkcje y=f(x) i y=g(x) są równe wtedy, gdy:

• są określone w tej samej dziedzinie D i
• \( \underset{x \in D}{\Large\forall} f(x)=g(x) \)

Funkcję y=f(x) nazywamy ograniczoną, gdy jej zbiór wartości jest ograniczony.

Funkcja f jest funkcją różnowartościową \( \iff \underset{x_1,x_2 \in D}{\Large\forall} x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \).

Każda funkcja różnowartościowa posiada funkcję odwrotną \( f^{-1} \)

\( x=f^1(y) \iff y=f(f^-1(y)) \)

Funkcja f jest parzysta \( \iff \underset{x \in D}{\Large\forall} -x \in D \land f(-x) = f(x) \)

Funkcja f jest nieparzysta \( \iff \underset{x \in D}{\Large\forall} -x \in D \land f(-x) = -f(x) \)

Funkcja f jest okresowa \( \iff \underset{T \in \Bbb{R}_+}{\Large\forall} x+T \in D \land f(x+T) = f(x) \)