Równania i nierówności wymierne

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci $ \frac{W(x)}{G(x)}=0 $, gdzie W(x) i G(x) są wielomianami.

Aby rozwiązać równanie wymierne, korzystamy z równoważności: $ \frac{W(x)}{G(x)} =0 \iff W(x)=0 \land G(x) \neq 0 $.

$ \frac{x^2-4}{x-1} =0 $

$ x^2-4=0 \land x-1 \neq 0 $

$ (x-2)(x+2)=0 \land x \neq 1 $

$ x_1=2, \space x_2=-2 $

Nierównością wymierną nazywamy nierówność postaci $ \frac{W(x)}{G(x)} \gt 0 $ lub $ \frac{W(x)}{G(x)} \lt 0 $.

Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych wymiernych korzystamy z równoważności:

$ \frac{W(x)}{G(x)} \gt 0 \iff W(x) \cdot G(x) \gt 0 $

$ \frac{W(x)}{G(x)} \geq 0 \iff W(x) \cdot G(x) \geq 0 \land G(x) \neq 0 $

$ \frac{W(x)}{G(x)} \lt 0 \iff W(x) \cdot G(x) \lt 0 $

$ \frac{W(x)}{G(x)} \leq 0 \iff W(x) \cdot G(x) \leq 0 \land G(x) \neq 0 $

$ \frac{x^3+2x^2-x-2}{x-3} \geq 0 $

$ (x^3+2x^2-x-2)(x-3) \geq 0 \land x-3 \neq 0 $

$ (x+2)(x^2-1)(x-3) \geq 0 \land x \neq 3 $

$ (x+2)(x+1)(x-1)(x-3) \geq 0 \land x \neq 3 $

$wykres funkcji $ \frac{x^3+2x^2-x-2}{x-3} \geq 0 $$

$ x \in (-\infty;-2 \rangle \cup \langle-1;1\rangle $