Różne zadania z funkcji wykładniczej
Zadanie 1.
Naszkicować wykres funkcji \( y=1-2^x \).
Zobacz rozwiązanie
Wykreślamy najpierw funkcję \( y=2^x \) obliczając wartość tej funkcji dla kilku argumentów:
| \( x \) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \( y=2^x \) | \( \frac{1}{2} \) | 1 | 2 | 4 | 8 |
Następnie rysujemy wykres symetryczny do wykresu funkcji \( y=2^x \) względem osi OX, otrzymując w ten sposób wykres funkcji \( y=-2^x \). Przesuwamy wykres funkcji \( y=-2^x \) o wektor \( \vec{n} = [0,1] \) otrzymujemy szukany wykres funkcji \( y=1-2^x \).
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie \( 4^{x-5} \cdot16^{x+3}=64 \)
Zobacz rozwiązanie
Obie strony równania przekształcamy w taki sposób, aby otrzymać potęgi o jednakowych podstawach.
\( 4^{x-5} \cdot 4^{2(x+3)}=4^3 \iff 4^{x-5+2x+6}=4^3, \text{ stąd }3x+1=3 \text{ czyli } x=\frac{2}{3} \)
Zadanie 3.
Rozwiąż równanie \( 25^x-5^{x+1}+5=5^x \)
Zobacz rozwiązanie
\( 5^{2x}-5 \cdot 5^{x}+5-5^x=0 \iff 5^{2x}-6 \cdot 5^{x}+5=0 \)
Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \( 5^x=y \) i otrzymujemy
\( y^2-6y+5=0 \text{ stąd } y=1 \text{ lub } y=5 \)
\( 5^x=1 \space \lor \space 5^x=5 \)
\( x=0 \space \lor \space x=1 \)
Odpowiedź:
x=0 lub x=1
Zadanie 4.
Rozwiązać równanie \( 3^{3x-x^2} \lt 9^x \)
Zobacz rozwiązanie
\( 3^{3x-x^2} \lt 9^x \iff 3^{3x-x^2} \lt 3^{2x} \iff 3-x^2 \lt 2x \iff x^2+2x-3 \gt 0 \)
\( (x \lt -3) \lor (x \gt 1) \)
Odpowiedź:
\( (x \lt -3) \text{ lub } (x \gt 1) \)
Zobacz Komentarze ( 0 )