Różne zadania z funkcji logarytmicznej

\( log_{30}8= \frac{log8}{log30}=\frac{log2^3}{log(3 \cdot 10)}= \frac{3log2}{log3 + log10} = \frac{3log2}{log3 + 1} = \frac{3log\frac{10}{5}}{log3 + 1}= \frac{3(log10-log5)}{log3 + 1} = \frac{3(1-log5)}{log3 + 1} = \frac{3(1-a)}{b + 1}\)

Odpowiedź:

\(x= \frac{3(1-a)}{b + 1}\)

\( 16^{log_23}=2^{4log_23}=2^{2log_23^4}=3^4=81 \)

\( 25^{-log_{\frac{1}{5}}3}=25^{-(-log_53)}=25^{log_53}=5^{3log_53}=5^{log_59}=9 \)

stąd x=81+9=90 (w rozwiązaniu korzystaliśmy z twierdzenia \( a^{log_{a}x}=x \)

Odpowiedź:

x=90

\( log20=log{4 \cdot 5}=log4+log5=log2^2+log5 \)

\( log5(2log2+log5)+log^22=log^25+2log2 \cdot log5+log^22=(log5+log2)^2=(log10)^2=1^2=1 \)

\( log_65= \frac{log_25}{log_26}=\frac{\frac{1}{log_52}}{log_22+log_23}=\frac{\frac{1}{b}}{1+a}=\frac{1}{b(1+a)} \)

Odpowiedź:

\( \frac{1}{b(1+a)} \)

Wiedząc, że \( log_a x^n=nlog_ax \) oraz \( log_a b= \frac{1}{log_ba} \)

\( L=log_na+log_na^2+log_na^3+\cdots+log_na^{10}=log_na+2log_na+3log_na+\cdots+10log_na= log_na(1+2+3+\cdots+10)=\frac{1+10}{2}\cdot10log_na=55log_na \) c.b.d.o

Wyznaczamy dziedzinę równania \( \left(\frac{1}{2}+x \gt 0 \text{ i } x \gt 0 \right)\Rightarrow x \gt 0 \)

\( log \left(\frac{1}{2}+x \right)=log\frac{1}{2x}\iff 2x \left(\frac{1}{2}+x \right)=1 \iff 2x^2+x-1=0\iff x=-1 \lor x=\frac{1}{2} \), liczba -1 nie należy do dziedziny równania.

Odpowiedź

\( x= \frac{1}{2} \)

Logarytmując obie strony równania otrzymujemy równanie \( logx(logx-1)=log100 \). Podstawiając \( logx=t \) otrzymujemy \( t^2-t-2=0 \), stąd \( t=-1 \text{ lub } t=2 \).

Wracając do niewiadomej x mamy:

\( logx=-1 \) to \( x=\frac{1}{10} \), dla \( logx=2 \) to \( x=100 \)

Odpowiedź:

\( x=\frac{1}{10} \lor x=100 \)

\( x \in \Bbb{R} \text{; } x=xlog10 \) ponieważ \( log10=1 \), \( xlog10-xlog5=log5+log4-log(1+2^x); \)

\( x(log10-log5)+log(1+2^x) =log20; \)

\( xlog\frac{10}{5}+log(1+2^x) =log20; \)

\( log2^x(1+2^x) =log20; \)

Skąd otrzymujemy równanie wykładnicze \( 2^x(1+2^x)-20=0 \), podstawiając \( 2^x=t \) otrzymujemy \( t^2+t-20=0 \), stąd \( t=-5 \) lub \(t=4 \).

Liczba -5 nie spełnia warunków zadania, ponieważ \( t=2^x \gt 0 \). Natomiast z warunku \( 2^x=4 \) otrzymujemy \( x=2 \).

Odpowiedź:

\( x=2 \)

Oczywiste jest, że \( x \gt 0 \). Podstawiając \( log_{\frac{1}{2}}x = t \) otrzymujemy nierówność kwadratową w postaci \( t^2+t-2 \leq 0 \), którą spełniają liczby \( -2 \leq t \leq 1 \). Z tego wynika:

\( \begin{cases} t \geq-2 \\ t \leq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} log_{\frac{1}{2}}x \geq-2 \\ log_{\frac{1}{2}}x \leq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \\ x \geq \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 4 \\ x \geq \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0 \lt x \leq 4 \\ x \geq \frac{1}{2} \end{cases} \)

Odpowiedź:

\( x \in \left\langle \frac{1}{2};4\right\rangle \)

Ustalamy dziedzinę nierówności: \( 3x-7 \gt 0 \ \Rightarrow x \gt \frac{7}{3} \)

\( log\frac{1}{2}(3x-7) \geq log_{\frac{1}{2}}2 \) Ponieważ funkcja logarytmiczna o podstawie \( 0 \lt a \lt 1 \) jest funkcją malejącą stąd mamy \( 3x-7 \leq 2 \), czyli \( x \leq 3 \)

Uwzględniając dziedzinę nierówności, ostatecznie otrzymujemy \( \frac{7}{3} \lt x \leq 3 \)

Odpowiedź:

\( \frac{7}{3} \lt x \leq 3 \)

Ustalamy dziedzinę funkcji \( 3x+1 \gt 0 \text{ i } 2x \gt 0 \text{ i } log2x \neq 0 \), stąd \( x \gt -\frac{1}{3} \text{ i } x \gt 0 \text{ i } x \neq \frac{1}{2} \). Dziedziną nierówności jest zbiór \( \left( 0,\frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2}, +\infty \right) \). Dla każdego \( x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right) \quad log(3x+1) \gt0 \text{ i } log2x \lt 0 \), więc nierówność nie ma rozwiązania w tym przedziale.

Dla każdego \( x \in \left( \frac{1}{2}, +\infty \right) \quad log(3x+1) \gt0 \text{ i } log2x \lt 0 \), więc nierówność (log⁡(3x+1))/log2x>0 jest spełniona dla każdego \( x \gt \frac{1}{2} \).

Odpowiedź

\( x \gt \frac{1}{2} \)

Dziedziną nierówności jest zbiór \( \{(x,y):x \gt 0 \text{ i } x \neq 1,\space y\gt 0 \text{ i } y \neq 1 \} \) Dla \( 0 \lt y \lt 1 \) nierówność dana jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy \( log_xy \geq 1 \), czyli \( log_xy \geq log_xx \), stąd dla \( 0 \lt x \lt 1 \quad y \lt x \), zaś dla \( x \gt 1 \quad y\geq x \), co jest sprzeczne z warunkiem, że \( 0 \lt y \lt 1 \).

Więc rozwiązaniem jest:

\( 0 \lt x \lt 1 \text{ i } y \lt x \).

Dla \( y \gt 1 \) otrzymujemy \( 0 \lt log_xy \leq 1 \), czyli \( log_x1 \lt log_xy \leq log_xx \), stąd dla \( 0 \lt x\lt 1 \) mamy \( 1\gt y \geq x \) co jest sprzeczne z warunkiem, że \( y \gt 1 \), zaś dla \( x \gt 1 \quad 1\lt y \leq x \).

Obszar zakreślony na rysunku jest szukanym zbiorem.

\( 2x-1 \gt 0 \space i \space 5-3x \gt 0, \space czyli \space \frac{1}{2} \lt x \lt \frac{5}{3} \)

Wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne, tzn:

\( log_{\frac{1}{10}}(2x-1)+log_{\frac{1}{10}}(5-3x) \geq 0 \) stąd

\( 0 \lt (2x-1)(5-3x) \leq 1, \quad dla \space \frac{1}{2} \lt x \lt \frac{5}{3} \) wystarczy rozwiązać

\( (2x-1)(5-3x) \leq 1 \iff 6x^2-13x+6 \geq 0, \space a \space stąd \space x \leq \frac{2}{3} \lor x \geq \frac{3}{2} \)

Uwzględniając warunek \( \frac{1}{2} \lt x \lt \frac{5}{3} \) otrzymujemy \( \frac{1}{2} \lt x \leq \frac{2}{3} \) lub \( \frac{3}{2} \leq x \lt \frac{5}{3} \)

Odpowiedź:

\( \frac{1}{2} \lt x \leq \frac{2}{3} \) lub \( \frac{3}{2} \leq x \lt \frac{5}{3} \)